Die Eulersche Zahl wurde beim Untersuchen der Zinseszinsrechnung vom Mathematiker Bernoulli entdeckt. Die Zinseszinsrechnung hilft uns, die Eulersche Zahl herzuleiten und zu verstehen.
Fragestellung: Wir zahlen 1 Euro auf unser Bankkonto. Wie viel Guthaben haben wir nach einem Jahr, wenn die Verzinsung 100 % beträgt?
Die Zinseszinsformel lautet:
\( K_n = K_0 · (1 + p)^n \)
Jetzt setzen wir die gegebenen Werte ein: K0 = 1 und p = 100 %
\( K_n = 1 · (1 + 100 \%)^n \)
Bei unterjähriger Verzinsung ändert sich der Wert von p zu \( p = \frac{1}{n} \) und damit ergibt sich:
\( K_n = 1 · (1 + \frac{1}{n})^n \)
Das Guthaben bei halbjähriger Verzinsung (n = 2) ist nach einem Jahr demnach:
\( K_2 = 1 · (1 + \frac{1}{2})^2 = 2,25 \)
Das Guthaben bei vierteljähriger Verzinsung (n = 4) ist nach einem Jahr demnach:
\( K_4 = 1 · (1 + \frac{1}{4})^4 = 2,44140625 \)
Das Guthaben bei täglicher Verzinsung (n = 365) ist nach einem Jahr demnach:
\( K_{365} = 1 · (1 + \frac{1}{365})^{365} = 2,71456748202187... \)
Verzinst man jede Stunde, also n = 365 · 24 = 8760, dann beträgt das Guthaben nach einem Jahr:
\( K_{8760} = 1 · (1 + \frac{1}{8760})^{8760} = 2,71812669162045... \)
Um so größer man den Wert für \( n \) wählt (minütlich, sekündlich usw.), desto näher kommt man der Eulerschen Zahl:
e = 2,71828182845904523536…
Daraus ergibt sich außerdem die Formel für die Eulersche Zahl mit:
\( e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \)