Als gewöhnliches Integral, welches partielle integriert werden soll, ziehen wir uns einmal die Funktion h(x) = x·\cos(x) heran. Es ist nun an uns die obige Formel heranzuholen und f(x) sowie g'(x) geschickt zu wählen.
\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)
Wenn wir uns an die Faustregel erinnern, so sollte man f(x) = x wählen. Tun wir das, so bleibt g'(x) = cos(x).
\( f(x) = x\quad \to \quad f'(x) =1 \)
\( g'(x) = \cos(x) \quad \to \quad g(x) = \sin(x) \)
Damit nun in die obige Formel:
\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)
\( \int x\cdot \cos(x) \;dx = \left[x\cdot \sin(x) \right] - \int 1 \cdot \sin(x) \;dx \)
Nun muss nur noch der letzte Summand integriert werden. Wobei die Integration von sin(x) kein Problem darstellt. Es ergibt sich also:
\( \int x · \cos(x) \;dx = \left[x · \sin(x) \right] - \int \sin(x) \;dx \)
\( \int x · \cos(x) \;dx = \left[x · \sin(x) - (-\cos(x)) \right] \)
\( \int x · \cos(x) \;dx = \left[x · \sin(x) +\cos(x) \right] \)
Hinweis: Sobald man den letzten Summanden integriert hat, kann man ihn in die eckige Klammer schreiben. Erinnern wir uns, dass man auch die eckige Klammer weglassen kann und stattdessen ein +c schreibt.