Nachdem wir einige Integrationsregeln kennen gelernt haben, setzen wir uns nun genauer mit der partiellen Integration auseinander. Die Formel zur partiellen Integration lautet:
\( \int f(x) · g'(x) \; dx = \left[f(x) · g(x) \right] - \int f'(x) · g(x) \; dx \)
Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Ableitung (zur Erinnerung, die Produktregel lautet f’(x) = g’(x)·h(x) + g(x)·h’(x)) und gliedert sich in mehrere Schritte.
Hat man ein Produkt gegeben, welches zu integrieren ist, nimmt man sich die einzelnen Faktoren und bestimmt einen Faktor als f(x) und einen als g’(x). Die Wahl beeinflusst die Handhabung der Faktoren, denn wie in der Formel auf der rechten Seite zu sehen ist, braucht man neben dem gewählten f(x) auch f’(x), welches deshalb in einer Nebenrechnung abgeleitet werden muss, während neben dem gewählten g’(x) auch ein g(x) benötigt wird, also dieser Faktor integriert werden muss.
Bevor wir uns ein paar Beispielen zuwenden, seien vorab ein paar Tipps mit auf den Weg gegeben:
- Es ist zumeist einfacher eine Potenz (Faktoren der Gestalt xn) abzuleiten als zu integrieren. Es kann sogar dazu führen, dass die partielle Integration ins Leere läuft, geht man es andersherum an. Als Faustregel: Potenzen werden abgeleitet.
- Dasselbe gilt für Faktoren wie ln(x), die sich nur schwer integrieren lassen und besser abgeleitet werden.
- Teils muss zweimal partiell integriert werden und/oder gar umsortiert. Sollte aber nach der zweiten partiellen Integration kein Ziel in Sicht sein, so sollte man f(x) und g’(x) vertauschen.
- Tipp für Klausuren: Ist die partielle Integration bei nur einem Term gefragt, so kann der Faktor 1 hinzugefügt werden. Das wird später am Paradebeispiel ln(x) gezeigt.