Wie zuvor angekündigt, ist es manchmal sinnvoll einen weiteren Faktor hinzuzufügen. Das Paradebeispiel dafür ist die Integration von ln(x).
\( \int \ln(x) \;dx = \int 1 · \ln(x) \;dx \)
Nun können wir f(x) und g’(x) wählen. Da f(x) = 1 keinen Sinn macht, wählen wir g’(x) = 1.
\( f(x) = \ln(x) \quad \to \quad f'(x) = \frac{1}{x} \)
\( g'(x) = 1 \quad \to \quad g(x) = x \)
Mit dieser Nebenrechnung müssen wir nun noch in die zu Beginn genannte Formel.
\( \int f(x) · g'(x) \;dx = \left[f(x) · g(x) \right] - \int f'(x) · g(x) \;dx \)
\( \int \ln(x) ·1\;dx = \left[\ln(x) · x \right] - \int \frac1x · x \;dx \)
Nun kann man den letzten Summanden noch zu 1 vereinfachen und einfach integrieren. Der erste Summand ist ja bereits integriert. Am Ende noch zusammenfassen und fertig.
\( \int \ln(x) ·1\;dx = \left[\ln(x) · x\right] - \int 1 \;dx \)
\( \int \ln(x) ·1\;dx = \left[\ln(x) · x - x\right] = \left[x·\left(\ln(x)-1\right) \right] \)
Umsortierung
Widmen wir uns noch dem Beispiel einer Integration zu, bei der wir umformen müssen. Die Beispielfunktion sei h(x) = cos2(x).
Um unsere Formel anwenden zu können, müssen wir h(x) zuerst in ein Produkt umschreiben. Dann können wir loslegen.
\( \cos^2(x) = \cos(x) · \cos(x) \)
\( f(x) = \cos(x) \quad \to \quad f'(x) = -\sin(x) \)
\( g'(x) = \cos(x) \quad \to \quad g(x) = \sin(x) \)
\( \int f(x) · g'(x) \;dx = \left[f(x) · g(x) \right] - \int f'(x) · g(x) \;dx \)
\( \int \cos(x) · \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) · \sin(x) \right] - \int (-\sin(x)) · \sin(x) \;dx \)
Nun haben wir im letzten Summanden wieder ein Produkt stehen. Dank dem trigonometrischen Pythagoras wissen wir allerdings, dass \( \sin^2(x) = 1-\cos^2(x) \) ist.
\( \int \cos(x) · \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) · \sin(x) \right] - \int (-\sin(x)) · \sin(x) \;dx \)
\( \int \cos(x) · \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) · \sin(x) \right] + \int \sin(x) · \sin(x) \;dx \)
\( \int \cos(x) · \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) · \sin(x) \right] + \int (1-\cos^2(x)) \;dx \)
\( \int \cos(x) · \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) · \sin(x) \right] + \int 1 \;dx - \int \cos^2(x) \;dx \)
Das Integral mit 1 zu integrieren, stellt keine Herausforderung dar. Doch haben wir erneut ein Integral, welches dem ursprünglichen Integral gleicht. Um nicht erneut die partielle Integration anzusetzen und sich in einer Schleife zu fangen, bringen wir das Integral der rechten Seite nach links. Sie sind ja beide identisch und wir erhalten zweimal das ursprüngliche Integral.
\( 2 · \int \cos(x) · \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) · \sin(x) \right] + \left[x\right] \)
Rechts haben wir nun kein Integral mehr. Links das ursprüngliche Integral doppelt. Dividieren wir durch den Faktor 2 und wir sind am Ziel angelangt.
\( \int \cos(x) · \cos(x) \;dx = \frac12·\left(\left[\cos(x) · \sin(x) \right] + \left[x\right] \right) \)
\( \int \cos(x) · \cos(x) \;dx = \frac12·\left[\cos(x) · \sin(x)+x\right] \)