Nun, da wir ein paar Regeln kennen gelernt haben, können wir uns weiter mit den Grenzwerten beschäftigen. Dabei haben wir uns bisher auf das Verhalten von x gegen +∞ (plus unendlich) konzentriert. Das ist aber nicht die einzige Möglichkeit, einen Grenzwert zu bestimmen.
Genauso gut können wir das Verhalten eines Graphen bei -∞ (minus unendlich) untersuchen oder bei einem reellen (endlichen) Wert. Schauen wir uns dazu im Folgenden ein paar Beispiele an.
Beispiel 1
$$ \lim_{x \to 3} 2\cdot x = ? $$
Der Grenzwert soll an der Stelle x untersucht werden. Dazu stellen wir uns vor, wie wir schrittweis die x-Werte entlang bis zu x = 3 gehen. Wir erkennen, dass es an der Stelle 3, die wir untersuchen sollen, kein Problem gibt (wie zum Beispiel einen nicht-definierten Wert). Dadurch können wir den Wert x = 3 direkt einsetzen.
$$ \lim_{x \to 3} 2\cdot x = 2 \cdot 3 = 6 $$
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Beispiel 2
Das geht nicht mehr, wenn wir beispielsweise eine Definitionslücke oder gar Polstelle haben. Untersuchen wir folgende Funktion:
$$\lim_{x\to 2} \frac{1}{x-2} = ?$$
Das schauen wir uns nun graphisch an (die rechnerische Gestaltung soll in der Lektion „Ableitung“ folgen).
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Wir sehen hier, dass wir zwei unterschiedliche Grenzwerte haben, je nachdem von welcher Seite man sich den Grenzwert anschaut. Wenn wir von links kommen, haben wir den „linksseitigen Grenzwert“ mit -unendlich und wenn wir von rechts kommen, haben wir den „rechtsseitigen Grenzwert“ von +unendlich. Das schauen wir uns nach den nächsten Beispielen noch einmal genauer an.
Beispiel 3
Nehmen wir uns noch ein Beispiel mit einer Definitionslücke (und nicht wie in Beispiel 2 einer Polstelle).
$$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2}{x-2} = ? $$
Hier haben wir eine hebbare Definitionslücke, das heißt man kann die Nennernullstelle herauskürzen und hat keine Problemstelle mehr. Aber bitte daran denken: x = 2 ist weiterhin aus der Definitionsmenge herauszunehmen, da x = 2 in der Ursprungsfunktion nicht definiert ist. Wir können uns dennoch anschauen, was an der Stelle x = 2 passiert. Dazu dürfen wir die Funktion vereinfachen und kürzen. Dann einfach nur noch den Wert x = 2 einsetzen und den Wert ablesen (wir haben ja dann keine Problemstelle mehr).
$$ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^2}{x-2} = \lim_{x\to 2} x-2 = 2-2 = 0 $$
Wir können den Grenzwert also zu 0 bestimmen. Wenn wir uns im Graphen die Definitionslücke anschauen, finden wir unsere Rechnung bestätigt.
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