Um die Existenz der irrationalen Zahlen zu beweisen, nutzen wir einen sogenannten „Widerspruchsbeweis“.
Warum ist Wurzel 2 irrational?
Zuerst nehmen wir an, dass √2 eine rationale Zahl ist, dass also \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) gilt, wobei dieser Bruch vollständig gekürzt sein soll. Das heißt insbesondere, dass beide Zahlen p und q ganze Zahlen sind und nicht gerade.
Dann gilt:
\( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \qquad | ()^2 \\ (\sqrt{2})^2 = \frac{p^2}{q^2} \\ 2 = \frac{p^2}{q^2} \qquad |·q^2 \\ p^2 = 2·q^2 \)
Also ist p² eine gerade Zahl und damit auch p.
Wenn p eine gerade Zahl ist, dann muss eine ganze Zahl p existieren mit der Eigenschaft p = 2·k.
Setzen wir p = 2·k in die letzte Gleichung ein, so erhalten wir:
p² = 2·q² | p=2·k
(2·k)² = 2·q²
4·k² = 2·q² |:2
q² = 2·k²
Damit ist also q² und somit auch q eine gerade Zahl.
Es gibt also zwei Aussagen:
- p ist eine gerade Zahl.
- q ist eine gerade Zahl.
Dies jedoch widerspricht der ersten Annahme, dass beide Zahlen nicht gerade sein dürfen.
Das ist ein Widerspruch!
Also ist √2 keine rationale Zahl. Die √2 gehört stattdessen zu einer neuen Zahlenmenge, den irrationalen Zahlen.