Auch die transzendenten Zahlen gehören zu den irrationalen Zahlen.
Beispiele von transzendenten Zahlen sind die Kreiszahl Pi π = 3,1415…, die Eulersche Zahl e = 2,71828… oder sin(20°) = 0,25882….
Die Besonderheit von transzendenten Zahlen ist, dass sie nicht als Polynom darstellbar sind. (Zur Erinnerung: Ein Polynom ist zum Beispiel 3·x²+4·x1-3·x0).
Die Wurzel aus 2 ist irrational, aber nicht transzendent, denn wir können √2 als Polynom schreiben: x2 - 2 = 0. Setzen wir dort x = √2 ein, so geht die Gleichung auf (mindestens eine Nullstelle existiert).
Wir nennen die Wurzel √2 daher algebraisch irrational.
Die Kreiszahl π hingegen ist irrational und transzendent, denn es gibt kein Polynom, das den Wert von π beschreibt.
Merke:
Eine Zahl ist transzendent, wenn es kein Polynom gibt, dessen Nullstelle sie ist (mit Koeffizienten aus den rationalen Zahlen).
Wir können für die Menge der transzendent irrationalen Zahlen das Zeichen \( \mathbb{T} \) verwenden.
Das Wort „transzendent“ kommt übrigens von lateinisch „transcendentia“ und bedeutet „Überschreiten“. Allgemein gilt als transzendent, was außerhalb unserer möglichen Sinneswahrnehmung bzw. Erfahrung liegt.