Am Einfachsten lassen sich Dinge durch Veranschaulichung wie Beispiele erklären.
Es folgen drei Beispiele, die wir vorrechnen wollen:
- Einfache Nullstellen, reell
- Reelle Nullstellen
- Komplexe Nullstellen
1. Einfache Nullstellen, reell
Die Aufgabe soll lauten: Integrieren Sie \( \frac{x+10}{x^2+5x-14} \).
Um dies zu integrieren, sollten wir eine Partialbruchzerlegung durchführen.
Dafür muss der Nenner zuerst einmal zerlegt werden.
Mit der abc-Formel oder p-q-Formel erhalten wir die Nullstellen x1 = -7 und x2 = 2 .
Die Linearfaktorzerlegung des Nenners ergibt dann:
x2 + 5·x - 14 = (x+7)·(x-2)
Nun können wir für die Partialbruchzerlegung folgendermaßen ansetzen:
\( \frac{x+10}{x^2+5x-14}=\frac{a}{x+7}+\frac{b}{x-2} \)
Lösungsvoschlag 1: Grenzwertmethode
Lösung x = -7: Es wird mit (x + 7) multipliziert und der Grenzwert x → -7 genommen:
\( \frac{x+10}{x-2} = a + b · 0 \\ \frac{3}{-9}=a \\ a=-\frac{1}{3} \)
Für x = 2 wird dasselbe gemacht. Aber um das mühsame Schreiben zu ersparen, sei hier erklärt, warum es auch „Zuhaltemethode“ heißt.
Für die Zuhaltemethode bedecke man auf der linken Seite (x - 2). Rechts betrachte man allein b. Es steht also für das Auge nur noch folgendes da:
\( \frac{x+10}{(x+7)}=b \)
Setzen wir den Grenzwert x → 2 ein, so ergibt sich \( b=\frac{4}{3} \).
Wie sich leicht nachprüfen lässt, ist das korrekt und es erklärt sich sowohl der Name „Zuhaltemethode“, wie auch warum es sich um ein so schnelles Verfahren handelt.
Lösungsvoschlag 2: Einsetzmethode
Zur Erinnerung:
\( \frac{x+10}{x^2+5x-14}=\frac{a}{x+7}+\frac{b}{x-2} \)
Es werden nun zwei beliebige Werte für x ∈ D gewählt, denn es liegen zwei Unbekannte vor, die zwei Gleichungen verlangen.
Es sei x = 0 und x = 3 gewählt:
\( \frac{3+10}{3^2+5 · 3-14}=\frac{a}{3+7}+\frac{b}{3-2} \)
\( \frac{0+10}{0^2+0-14}=\frac{a}{0+7}+\frac{b}{0-2} \)
Es ergeben sich also die beiden Gleichungen:
\( \frac{13}{10}=\frac{a}{10}+b \\ -\frac{10}{14}=\frac{a}{7}+-\frac{b}{2} \)
Aus diesem linearen Gleichungssystem ergibt sich die Lösung \( a=-\frac{1}{3},~b=\frac{4}{3} \)
Das stimmt mit dem Lösungsvorschlag 1 oben überein. ✓
Wir erhalten am Ende:
\( \frac{x+10}{x^2+5x-14}=-\frac{1}{3(x+7)}+\frac{4}{3(x-2)} \)
Um die Aufgabe abzuschließen wird nun integriert:
\( \int \frac{x+10}{x^2+5x-14}dx=\int -\frac{1}{3(x+7)}+\frac{4}{3(x-2)}dx=\left[-\frac{1}{3}ln|x+7|+\frac{4}{3}ln|x-2|\right] \)
2. Reelle Nullstellen
Partialbruchzerlegung dieses Beispiels:
\( \frac{4x^2+9x-4}{(x-1)(x+2)^2} \)
Zu wählender Ansatz:
\( \frac{4x^2+9x-4}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{(x+2)^2} \)
Mit a = 1 und c = 2 (aus der Grenzwertmethode) (b lässt sich mit der Grenzwertmethode nicht bestimmen. Ist nun aber einfacher zu bestimmen, da einzige Unbekannte):
\( \frac{b}{x+2}=\frac{4x^2+9x-4}{(x-1)(x+2)^2}-\frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x+2)^2} \)
Danach versucht man beide Seiten auf den gleichen Nenner zu bringen:
\( \frac{b}{x+2}=\frac{(4x^2+9x-4)-(x+2)^2-2(x-1)}{(x-1)(x+2)^2} \\ \frac{4x^2+9x-4-(x^2+4x+4)+2x-2}{(x-1)(x+2)^2} \\ = \frac{3x^2+3x-6}{(x-1)(x+2)^2} \\ = \frac{3(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)^2} \\ = \frac{3}{(x+2)} \)
Wir sehen also, dass:
\( \frac{b}{x+2}=\frac{3}{x+2} \)
woraus folgt, dass b = 3 ist.
Es ergibt sich damit insgesamt:
\( \frac{4x^2+9x-4}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x+2}+\frac{2}{(x+2)^2} \)
3. Komplexe Nullstellen
Partialbruchbildung von \( \frac{2x^3+5x^2+2x+3}{(x+2)(x^2+1)} \)
Es gilt als erstes zu beachten, dass der Nennergrad nicht größer ist als der Zählergrad. Also Polynomdivision:
\( \frac{2x^3+5x^2+2x+3}{(x+2)(x^2+1)}=2+\frac{x^2-1}{(x+2)(x^2+1)} \)
Wir haben eine komplexe Nullstelle und eine einfache reelle Nullstelle. Es gilt daher folgender Ansatz (der Summand 2 wird nicht weiter betrachtet):
\( \frac{x^2-1}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{a}{x+2}+\frac{bx+c}{x^2+1} \)
Wie beschrieben wird nun der Hauptnenner gebildet und dann geordnet:
\( \frac{x^2-1}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{a(x^2+1)+(bx+c)(x+2)}{(x+2)(x^2+1)} \)
\( = \frac{(a+b)x^2+(2b+c)x+(a+2c)}{(x+2)(x^2+1)} \)
Mit dem Koeffizientenvergleich ergibt sich:
\( x^2: a+b = 1 \\ x^1: 2b+c = 0 \)
\( \rightarrow a=\frac{3}{5},~ b=\frac{2}{5},~ c=-\frac{4}{5} \)
Das Ergebnis ist dann:
\( \frac{2x^3+5x^2+2x+3}{(x+2)(x^2+1)}=2+\frac{1}{5}\frac{3}{x+2}+\frac{1}{5}\frac{2x-4}{x^2+1} \)
5. Internetrechner
Heutzutage ist das Netz schon weit entwickelt und man findet immer mehr Möglichkeiten, ein Ergebnis im Netz zu kontrollieren.
Das wohl am weitesten fortgeschrittene frei verfügbare Tool ist Wolframalpha.
Gibt man hier eine Funktion ein, die sich in einen Partialbruch zerlegen lässt, so findet man dies direkt in der dritten Box unter "Partial fraction expansion".
Ist man nicht nur am Ergebnis interessiert, sondern benötigt des Weiteren den Lösungsweg, so ist das mit einem einfachen Klick auf "Show steps" getan. Als Beispiel: Veranschaulichung (2x+3)/(x²-1) (das entspricht der Funktion aus 3.2)