Grundsätzlich sind drei verschiedene Fälle zu unterscheiden.
- Einfache reelle Nullstellen
- komplexe Nullstellen
- mehrfache Nullstellen (hier: reell)
Reelle Nullstellen (einfach)
Es sei angenommen, dass das Polynom als Linearfaktorzerlegung geschrieben werden kann. Dabei tritt keine Vielfachheit einer Nullstelle auf:
\( p(x)=(x-x_1)·(x-x_2) · \ldots · (x-x_m) \)
Die zugehörige Partialbruchzerlegung hat dann diese Gestalt:
\( \frac{q(x)}{p(x)}=\frac{a}{x-x_1}+\frac{b}{x-x_2} + \ldots \)
Die Berechnung soll später geklärt werden.
Komplexe Nullstellen
Gilt für p(x), dass keine reellen Nullstellen existieren, so lässt es sich nicht als Produkt von Linearfaktoren darstellen.
\( p(x)=(x^2+ux_1+v_1)+\ldots ~mit~ u,v\in\mathbb R \)
Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber direkt vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle zi auch die konjugiert komplexe Zahl \( \overline {z_i} \) Nullstelle ist.
Anstatt \( \frac{a}{x-z_i} \) und \( \frac{b}{x-\overline {z_i}} \) lässt sich das auch als ein Term \( \frac{c+dx}{x^2+ux+v} \) darstellen, wobei gilt \( x^2+ux+v=(x-z_i)(x-\overline {z_i}) \).
Da x2 + ux + v einer reellen quadratischen Form entspricht, sind auch c und d reell.
Mehrfache Nullstellen (reell)
Der Nennerterm p(x) sei auf die Form gebracht:
\( p(x)=(x-x_1)^{k_1}·(x-x_2)^{k_2}· \ldots ·(x-x_m)^{k_m} \) für \( k_i>1 \)
Eine Vielfachheit der Nullstelle ist hier möglich.
Für den zu wählenden Ansatz gilt Folgendes:
\( \frac{q(x)}{(x-x_n)^k}=\frac{a}{(x-x_n)}+\frac{b}{(x-x_n)^2}+...+\frac{c}{(x-x_n)^k} \)
Mehrfache Nullstellen (komplex)
Der Nennerterm p(x) sei auf die Form gebracht:
\( p(x)=(x^2+ux+v)^{k_1}· \ldots · (x^2+u_mx+v_m)^{k_m} \) für \( k_i>1 \)
Eine Vielfachheit der Nullstelle ist hier möglich.
Für den zu wählenden Ansatz gilt Folgendes:
\( \frac{q(x)}{(x^2+ux+v)^k}=\frac{ax+b}{(x^2+ux+v)}+\frac{cx+d}{(x^2+ux+v)^2}+...+\frac{ex+f}{(x^2+ux+v)^k} \)