Eine Partialbruchzerlegung hat folgende Form (hier: einfache reelle Nullstellen):
\( \frac{q(x)}{p(x)}=\frac{a}{(x-x_1)}+\frac{b}{(x-x_2)}+... \)
Dabei sind die Koeffizienten im Zähler zu bestimmen und xn steht für die Nullstellen.
In diesem Kapitel sollen verschiedene Ansätze zur Bestimmung der Koeffizienten dargelegt werden. Die Herangehensweise soll jeweils an einem Beispiel veranschaulicht werden.
1. Koeffizientenvergleich
Es sei folgende Funktion gegeben:
\( f(x)=\frac{x-1}{(x-2)^3} \)
Wir erkennen sofort, dass wir hier nach Mehrfache Nullstellen (reell) vorzugehen haben, denn hier liegt eine mehrfache Nullstelle vor.
Es gilt demnach folgender Ansatz:
\( \frac{x-1}{(x-2)^3}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{(x-2)^2}+\frac{c}{(x-2)^3} \)
Mit Anwendung des Koeffizientenvergleichs ist es nun nötig, den gemeinsamen Hauptnenner zu finden und mit diesem zu multiplizieren. Der gemeinsame Hauptnenner ist in unserem Fall (x-2)3.
Es ergibt sich daraus eine neue Gleichung, die dieses Aussehen hat:
\( x-1=a(x-2)^2+b(x-2)+c \)
Um die Koeffizienten zu vergleichen, muss die Gleichung vereinfacht werden.
\( 1 · x-1=a(x^2-4x+4)+b(x-2)+c \\ = ax^2+(-4a+b)x+(4a-2b+c) \)
Nun können die Koeffizienten verglichen werden, indem man sich Folgendes vor Augen führt:
\( 0·x^2+1·x-1=ax^2 + (-4a+b)x+(4a-2b+c) \\ x^2:~0=a \\ x^1:~1=-4a+b \\ x^0:-1=4a-2b+c \)
Aus erster Zeile folgt, dass a = 0 sein muss. Damit in die zweite Zeile und es folgt b = 1.
Aus der dritten Gleichung erhält man dann c = 1.
Dies wird nun in obige Gleichung eingesetzt und man erhält:
\( \frac{x-1}{(x-2)^3}=\frac{0}{x-2}+\frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{(x-2)^3}=\frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{(x-2)^3} \)
2. Grenzwertmethode (Zuhaltemethode)
Dieses Verfahren ist bedeutend schneller als der Koeffizientenvergleich, doch lässt es sich nur auf Linearfaktoren anwenden. Bei einer mehrfachen Nullstelle ist es mit der Grenzwertmethode nicht getan.
Es bietet sich an, die den höchsten Potenzen der Linearfaktoren entsprechenden Unbekannten nach der Grenzwertmethode, die übrigen nach der Koeffizientenvergleichsmethode zu bestimmen.
Auch hier sei an einem Beispiel das Vorgehen veranschaulicht.
Gegeben sei Folgendes:
\( \frac{2x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1} \)
Wir haben hier nur einfache reelle Nullstellen und somit lassen sich beide Koeffizienten nach der Grenzwertmethode bestimmen.
Um a zu bestimmen, werden beide Seiten mit dem zugehören Linearfaktor (hier: (x-1)) multipliziert.
Es wird sogleich gekürzt und folgendes bleibt stehen:
\( \frac{2x+3}{x+1}=a+\frac{b(x-1)}{x+1} \)
Nimmt man nun den Grenzwert, sagt x → 1, so ergibt sich:
\( \frac{2+3}{2} = a + b·0 \)
Es ergibt sich \( a=\frac{5}{2} \).
Für b wird genau dasselbe Verfahren verwendet. Es wird mit dem zugehörigen Linearfaktor (hier: (x+1)) multipliziert und dann der Grenzwert errechnet.
Es gilt für x → -1:
\( \frac{-2+3}{-2} = a·0 + b = -\frac{1}{2} \)
Die Partialbruchzerlegung lautet demnach:
\( \frac{2x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{\frac{5}{2}}{(x-1)}+\frac{-\frac{1}{2}}{(x+1)}=\frac{5}{2}\frac{1}{(x-1)}-\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)} \)
3. Einsetzmethode
Mit der Einsetzmethode erzeugt man so viele lineare Gleichungen, wie man unbekannte Koeffizienten angesetzt hat, indem man in die Ansatzgleichung für die Partialbrüche für x beliebige Werte einsetzt (die Definitionsmenge ist einzuhalten x ∈ D).
Diese Methode wendet man vorteilhaft an, wenn mit der Zuhaltemethode schon Koeffizienten bestimmt sind und nur noch wenige Koeffizienten unbekannt sind.
Wiederum sei an einem Beispiel das Vorgehen erläutert.
\( \frac{x+1}{x^2(x-1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{(x-1)} \)
Anmerkung: Mit der Grenzwertmethode lassen sich hier nicht alle Koeffizienten bestimmen. Mittels der Grenzwertmethode ließen sich nur b und c bestimmen.
Es gilt drei Koeffizienten zu bestimmen. Drei Unbekannte fordern drei Gleichungen.
Für die Einsetzmethode sei x = -1, x = 2 und x = 3 gewählt (x = 0 oder x = 1 dürfen nicht gewählt werden, da sie außerhalb der Definitionsmenge D liegen).
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem, das es zu lösen gilt:
x = -1: \( 0=\frac{a}{-1}+\frac{b}{(-1)^2}+\frac{c}{-2} \)
x = 2: \( \frac{3}{4}=\frac{a}{2}+\frac{b}{4}+\frac{c}{1} \)
x = 3: \( \frac{4}{18}=\frac{a}{3}+\frac{b}{9}+\frac{c}{2} \)
In vereinfachter Form:
x = -1: \( 0 = -a+b-\frac{1}{2}c \)
x = 2: \( \frac{3}{4}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}b+c \)
x = 3: \( \frac{2}{9}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{9}b+\frac{1}{2}c \)
Als Lösung ergibt sich: a = -2, b = -1, c = 2
Die Partialbruchzerlegung lautet demnach:
\( \frac{x+1}{x^2(x-1)}=-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)} \)