Das Potenzieren leitet sich aus einer vereinfachenden Schreibweise für die Berechnung eines Produktes aus wertgleichen Faktoren ab:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,a \cdot a \cdot a = {a^3}\\a \cdot a \cdot a \cdot a = {a^4} & usw.\end{array}\) Gl. 1
Offenbar gibt der Exponent n von \({a^n}\)zahlenmäßig die Anzahl der gleichwertigen Faktoren im Produkt wider (nach dieser Betrachtung scheint die Potenz einer Zahl nur für ganzzahlige Exponenten definiert zu sein).
Aus dieser Definition einer Potenz lässt sich leicht ableiten, dass z.B.
\( \left( {a \cdot a} \right) \cdot \left( {a \cdot a \cdot a} \right) = {a^2} \cdot {a^3} = {a^{2 + 3}} = {a^5} \) Gl. 2
oder, dass
\(\frac{ {\left( {a \cdot a \cdot a} \right)} }{ {\left( {a \cdot a} \right)}} = \frac{ { {a^3} } }{ { {a^2} } } = {a^{3 - 2} } = {a^1} = a\) Gl. 3
ist. Es ist festzustellen, dass – Gleichwertigkeit der Faktoren vorausgesetzt – sich die Rechenoperationen angewendet auf die Faktoren als rangniedere Operationen in den Exponenten widerspiegeln. Aus einer Multiplikation der Faktoren wird eine Addition und aus der Division wird eine Subtraktion der Exponenten.
Aber auch Multiplikationen im Exponenten sind sinnvoll:
\({\left( { {a^2} } \right)^3} = {a^{2 \cdot 3}} = {a^6}\) Gl. 4
Nicht zu verwechseln mit
\({a^{\left( { {2^3} } \right)}} = {a^8}\) Gl. 5 ← Hier gilt das Kommutativgesetz nicht.
Allgemein gilt:
\({a^n} \cdot {a^m} = {a^{n + m}}\) Gl. 6
\(\frac{ { { a^n } } }{ { { a^m } } } = {a^n} \cdot {a^{ - m}} = {a^{n - m}}\) Gl. 7
\({\left( { { a^n } } \right)^m} = {a^{n \cdot m}}\) Gl. 8
Aus \(\frac{ { { a^n } } }{ { { a^m } } } = {a^n} \cdot {a^{ - m}} = {a^{n - m}}\) ist auch der Sonderfall für m = n ableitbar:
\( {a^m} \cdot { a^{ - m} } = {a^0} = \frac{ { { a^m } } }{ { { a^m } } } = 1 \) Gl. 9
D.h. unabhängig vom Wert, den a hat (mit Ausnahme von a = 0) ist der Wert \( a^0 = 1 \).
Terminologie
In einem Ausdruck \(A = {a^n}\) wird a die Basis zum Exponenten n genannt. A ist dann die n-te Potenz der Basis a.
Umgekehrt ist A im Ausdruck \(a = \sqrt[n]{A}\) der Radikand, aus dem die n-te Wurzel gezogen werden soll.
Und schließlich ist im Ausdruck \(n = {\log _a}A\) das n der Logarithmus von A zur Basis a.