Definition
Während Potenzieren und Radizieren Operationen sind, die sich bei festem Exponenten auf die Basis des Ausdrucks beziehen, fragt der Logarithmus nach dem Exponenten in Bezug auf eine feste Basis.
\(n = {\log _a}A\) Gl. 14
Die Fragestellung lautet dann: wie groß ist der Exponent n zu wählen, damit \({a^n} = A\) ergibt?
Grundsätzlich kann der Logarithmus zu jeder beliebigen (reellen) Basis berechnet werden. Gebräuchlich sind aber
- der natürliche Logarithmus ln zur Basis e (Eulersche Zahl e » 2,7182183...)
- der Briggs’sche oder dekadische Logarithmus lg zur Basis 10 und der
- binäre Logarithmus lb (auch ld) zur Basis 2.
Eigenschaften
Logarithmen basieren auf den Potenzgesetzen und weisen darum besonders vorteilhafte Eigenschaften auf. Insbesondere ist es die Reduzierung des Rechenaufwandes bei der Lösung umfangreicher Multiplikations- und Divisionsaufgaben, die zur Erfindung der Logarithmen durch BRIGGS Henry, 1561-1630 und unabhängig von diesem durch NEPER (NAPIER) John, 1550-1617 geführt haben:
• Multiplikation/Division
\(\log \left( {A \cdot B} \right) = \log \left( A \right) + \log \left( B \right)\) Gl. 15
\(\log \left( {\frac{A}{B}} \right) = \log \left( A \right) - \log \left( B \right)\) Gl. 16
• Potenzierung/Radizierung
\(\log \left( { {A^n} } \right) = n \cdot \log \left( A \right)\) Gl. 17
\(\log \left( {\sqrt[n]{A}} \right) = \frac{1}{n} \cdot \log \left( A \right)\) Gl. 18
Darüber hinausgehend gelten weitere Zusammenhänge für Logarithmen:
Wandlung des Logarithmus einer Basis in den Logarithmus einer anderen Basis.
Beispiel:
Gegeben sei der natürliche Logarithmus einer Zahl A. Gesucht ist der Briggs’sche Logarithmus dieser Zahl.
\(geg:\,\,\ln \left( A \right) \qquad ges:\,\,\lg (A)\)
Lösungsweg:
Umkehrung des natürlichen Logarithmus: \(n = \ln \left( A \right) \Rightarrow A = {e^n}\)
Zur Erinnerung: \( e^n = e^{\ln(A)} \)
Brigg’sche Logarithmierung: \(\lg (A) = \lg ({e^n}) = n \cdot \lg (e) = \ln (A) \cdot \lg (e)\)
Allgemein gilt:
\(n = {\log _a}\left( A \right) \Rightarrow A = {a^n}\) Gl. 19
Logarithmieren zur Basis b ergibt:
\({\log _b}\left( A \right) = n \cdot {\log _b}\left( a \right)\) Gl. 20
also
\({\log _b}\left( A \right) = n \cdot {\log _b}\left( a \right) = {\log_a}(A) \cdot {\log _b}(a)\) Gl. 21
Beispiel:
Es sei der natürliche Logarithmus der Zahl 3 mit 1,09861 gegeben (e=2,7183..). Daraus ist der Briggs’sche Logarithmus zu ermitteln.
\(\lg (3) = \log (e) \cdot \ln \left( 3 \right) = 0,47712\)
Aus Gleichung \({\log _b}\left( A \right) = n \cdot {\log _b}\left( a \right)\) folgt weiter:
\({\log _b}\left( { {a^n} } \right) = n \cdot {\log _b}\left( a \right)\) Gl. 22
indem alle Glieder als Potenz zur Basis b erhoben werden:
\({a^n} = {b^{n \cdot { {\log }_b}\left( a \right)} }\) Gl. 23
Weitere Eigenschaften:
1. Aus der Definition des Logarithmus mit \(n = {\log _a}A\) folgt für \(A = a = {a^1}\)
\({\log _a}\left( a \right) = 1\) Gl. 24
2. Und für beliebige Basen a, da \(1 = {a^0}\)
\({\log _a}\left( 1 \right) = 0\) Gl. 25
3. Für das Argument x=0 sind die Logarithmen nicht definiert,
\({\log _a}\left( 0 \right) = - \infty \) Gl. 26
da entsprechend der Potenzgesetze nur \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0\) erfüllt.
4. Für negative Argumente sind die Logarithmen im Zahlenkörper der komplexen Zahlen definiert.