Im Folgenden zeigen wir, wie man verschiedene Aufgabentypen zu Potenzfunktionen lösen kann.
Eine Potenzfunktion hat allgemein die Form f(x) = a·xn.
Wir sollen die Gleichung der Potenzfunktion bestimmen. Es sind uns hierzu zwei Punkte gegeben:
P1(2|4) und P2(3|9)
1. Schritt: Wir setzen jeden Punkt in die allgemeine Gleichung ein, somit erhalten wir zwei Gleichungen.
Beispiel:
f(x) = a·xn | P1(2|4)
f(2) = a·2n = 4
f(x) = a·xn | P2(3|9)
f(3) = a·3n = 9
2. Schritt: Wir formen beide Gleichungen nach a um.
$$ a·2^n = 4 \qquad |:2^n \\ a = \frac{4}{2^n} $$
$$ a·3^n = 9 \qquad |:3^n \\ a = \frac{9}{3^n} $$
3. Schritt: Wir setzen beide Gleichungen gleich.
$$ a = a \\ \frac{4}{2^n} = \frac{9}{3^n} $$
4. Schritt: Wir formen um und bringen die Terme mit den Exponenten auf eine Seite.
$$ \frac{4}{2^n} = \frac{9}{3^n} \qquad | \text{ Kehrwert } \\ \frac{2^n}{4} = \frac{3^n}{9} \qquad |·4 \\ 2^n = \frac{3^n}{9}·4 \quad | :3^n \\ \frac{2^n}{3^n} = \frac{4}{9} $$
5. Schritt: Wir fassen die beiden Potenzen nach den Potenzgesetzen zusammen. (bn: cn = (b/c)n)
$$ \frac{2^n}{3^n} = \frac{4}{9} \\ \left( \frac{2}{3} \right)^n = \frac{4}{9} $$
6. Schritt: Wir wenden den Logarithmus an.
$$ \left( \frac{2}{3} \right)^n = \frac{4}{9} \\[10pt] \log \left( \left( \frac{2}{3} \right)^n \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) \\[10pt] n · \log \left( \frac{2}{3} \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) $$
7. Schritt: Wir bringen n allein auf eine Seite und können n mit dem Taschenrechner berechnen.
$$ n · \log \left( \frac{2}{3} \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) \quad |:\log \left( \frac{2}{3} \right) \\[10pt] n = \frac{ \log \left( \frac{4}{9} \right) }{ \log \left( \frac{2}{3} \right) } \\[15pt] n = 2 $$
8. Schritt: Setzen wir n in eine der Gleichungen ein, so können wir a berechnen.
a·2n = 4 | n = 2
a·22 = 4
a·4 = 4 | :4
a = 1
9. Schritt: Wir haben n und a berechnet, nun setzen wir beide in die allgemeine Form der Gleichung ein, um die richtige Funktionsgleichung zu erhalten.
f(x) = a·xn | n=2; a=1
f(x) = 1·x2
Fertig. Die Funktionsgleichung lautet also: f(x) = x2
Kontrolle mit Graph und eingezeichneten Punkten:
~plot~ x^2;{2|4};{3|9};[[-5|5|-1|12]];noinput ~plot~