Potenzfunktionen haben Funktionsgleichungen der Form f(x) = a·xn, wobei n ∈ ℤ und a ∈ ℝ.
Je nach Exponent n und Vorfaktor a ergeben sich verschiedene Eigenschaften, die im Folgenden in der Übersicht dargestellt sind.
Um die Inhalte verstehen zu können, erinnern wir uns, wie die Symmetrie funktioniert, was Monotonie ist, was Definitionbereich und Wertebereich sind.
Positiver gerader Exponent n (n ≥ 1)
Beispiel: Graph von f(x) = x4
| Symmetrie | achsensymmetrisch zur y-Achse |
| Monotonie | streng monoton fallend für x ∈ ℝ0- und streng monoton steigend für x ∈ ℝ0+ |
| Definitionsmenge | D = ℝ |
| Wertebereich | W = ℝ0+ |
| Gemeinsame Punkte | (-1|+1), (0|0), (1|1), wenn a=1 |
Positiver ungerader Exponent n (n ≥ 1)
Beispiel: Graph von f(x) = x5
| Symmetrie | punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung |
| Monotonie | streng monoton steigend für x ∈ ℝ |
| Definitionsmenge | D = ℝ |
| Wertebereich | W = ℝ |
| Gemeinsame Punkte | (-1|-1), (0|0), (1|1), wenn a=1 |
Gegenüberstellung: Positive Exponenten
Potenzfunktionen: f(x) = a·xn mit positivem Exponenten (n ≥ 1)
n ∈ ℕ, a = 1
| Exponent n gerade | Exponent n ungerade | |
|---|---|---|
| Beispielgraph |
|
|
| Symmetrie | symmetrisch zur y-Achse | punktsymmetrisch zum Ursprung |
| Monotonie |
streng fallend für \( x ∈ ℝ^{-}_{0} \)
streng steigend für \( x ∈ ℝ^{+}_{0} \) |
streng steigend für x ∈ ℝ |
| Definitionsmenge | D = ℝ | D = ℝ |
| Wertebereich | \( W = ℝ^{+}_{0} \) | W = ℝ |
| Gemeinsame Punkte | (-1|+1), (0|0), (1|1), wenn a=1 | (-1|-1), (0|0), (1|1), wenn a=1 |
Negativer gerader Exponent n (n ≤ -1)
Beispiel: Graph von f(x) = x-2
| Symmetrie | achsensymmetrisch zur y-Achse |
| Monotonie | streng monoton steigend für x ∈ ℝ- und streng monoton fallend für x ∈ ℝ+ |
| Definitionsmenge | D = ℝ \ {0} |
| Wertebereich | W = ℝ+ |
| Gemeinsame Punkte | (-1|+1), (1|1), wenn a=1 |
| Definitionslücke | bei x = 0 |
Negativer ungerader Exponent n (n ≤ -1)
Beispiel: Graph von f(x) = x-1
| Symmetrie | punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung |
| Monotonie | streng monoton fallend für x ∈ ℝ \ {0} |
| Definitionsmenge | D = ℝ \ {0} |
| Wertebereich | W = ℝ \ {0} |
| Gemeinsame Punkte | (-1|-1), (1|1), wenn a=1 |
| Definitionslücke | bei x = 0 |
Gegenüberstellung: Negative Exponenten
Potenzfunktionen: f(x) = a·xn mit negativem Exponenten (n ≤ -1)
n ∈ ℤ, a > 0
| Exponent n gerade | Exponent n ungerade | |
|---|---|---|
| Beispielgraph |
|
|
| Symmetrie | symmetrisch zur y-Achse | punktsymmetrisch zum Ursprung |
| Monotonie |
streng steigend für x ∈ ℝ-
streng fallend für x ∈ ℝ+ |
streng fallend für x ∈ ℝ \ {0} |
| Definitionsmenge | D = ℝ \ {0} | D = ℝ \ {0} |
| Wertebereich | W = ℝ+ | W = ℝ \ {0} |
| Gemeinsame Punkte | (-1|+1), (1|1) | (-1|-1), (1|1) |
Polynomfunktionen sind aus Potenzfunktionen zusammengesetzt. Zum Beispiel besteht die Polynomfunktion f(x) = 3·x4 + 2·x3 + x - 2 aus mehreren Potenzfunktionen (3·x4 und 2·x3 und x1 sowie -2·x0).