Wir haben bereits gelernt, wie wir Vorrangregeln verwenden, um Terme korrekt zu berechnen.
Die Reihenfolge lautet:
Im Folgenden rechnen wir einige Beispiele von umfangreichen Zahltermen (also Terme, die nur Zahlen und keine Variablen enthalten).
Beispiel 1
Auszurechnen sei folgender Term:
\( (41 + 112) · 140 - 95 · 3 - 3 · (4 + 7 · 5) + 5^{2} · 2 \)
Wir zeigen nachfolgend die einzelnen Schritte zur Berechnung und welche Vorrangregeln zu beachten sind:
1. Zuerst die Klammern auflösen
Wir erkennen, dass sich Klammern im Term befinden. Diese müssen wir zuerst auflösen.
\( = \underbrace{ \textcolor{#00F}{(41 + 112)} } · 140 - 95 · 3 - 3 · \underbrace{ \textcolor{#00F}{(4 + 7 · 5)} } + 5^{2} · 2 \\ = \quad ~ \textcolor{#00F}{153} \quad ~~~ · 140 - 95 · 3 - 3 · ~~~ \textcolor{#00F}{(4 + 35)} + 5^{2} · 2 \\ = \quad ~ \textcolor{#00F}{153} \quad ~~~ · 140 - 95 · 3 - 3 · \quad \quad \textcolor{#00F}{39} \quad ~ + 5^{2} · 2 \)
2. Dann die Potenzen berechnen
Es befindet sich eine Potenz im Term, diese gilt es zu berechnen.
\( = 153 · 140 - 95 · 3 - 3 · 39 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{5^{2} } }_{ \textcolor{#00F}{5·5 ~=~ 25} } · 2 \\ = 153 · 140 - 95 · 3 - 3 · 39 + \quad \textcolor{#00F}{25} \quad · 2 \)
3. Dann die Multiplikationen/Divisionen berechnen
Als nächstes berechnen wir die beiden Multiplikationen:
\( = \underbrace{ \textcolor{#00F}{153 · 140} }_{ \textcolor{#00F}{21~420} } - \underbrace{ \textcolor{#F0A}{95 · 3} }_{ \textcolor{#F0A}{285} } - \underbrace{ \textcolor{#00F}{3 · 39} }_{ \textcolor{#00F}{117} } + \underbrace{ \textcolor{#F0A}{25 · 2} }_{ \textcolor{#F0A}{50} } \\ = \textcolor{#00F}{ 21~420 } - \textcolor{#F0A}{285} - \textcolor{#00F}{117} + \textcolor{#F0A}{50} \)
4. Abschließend die Additionen und Subtraktionen berechnen
\( = 21~420 - 285 - 117 + 50 \\ = 21~420 + 50 - 285 - 117 \\ = 21~470 - 285 - 117 \\ = 21~185 - 117 \\ = 21~068 \)
5. Ergebnis
\( (41 + 112) · 140 - 95 · 3 - 3 · (4 + 7 · 5) + 5^{2} · 2 \\ \bold{= 21~068} \)
Zur Kontrolle der Rechnung können wir den Rechenfreund benutzen.
Beispiel 2
Auszurechnen sei folgender Term:
\( 4^{3} + 1000 : (7 + 3) : 20 + (696 - 83) · [2 + 4·(3 - 1)] \)
Wir zeigen nachfolgend die einzelnen Schritte zur Berechnung und welche Vorrangregeln zu beachten sind:
1. Zuerst die Klammern auflösen
Wir erkennen, dass sich Klammern im Term befinden. Diese müssen wir zuerst auflösen.
\( = 4^{3} + 1000 : \underbrace{ \textcolor{#00F}{(7 + 3)} } : 20 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{(696 - 83)} } · [2 + 4·\underbrace{ \textcolor{#00F}{(3 - 1)} }] \\ = 4^{3} + 1000 : \quad \textcolor{#00F}{10} \quad : 20 + \quad ~~ \textcolor{#00F}{613} \quad ~ · [2 + 4 ~ · \quad ~ \textcolor{#00F}{2} \quad ~ ] \\ = 4^{3} + 1000 : \quad 10 \quad : 20 + \quad ~~ 613 \quad ~ · \underbrace{ \textcolor{#F0A}{ [2 + 4 · 2 ] } } \\ = 4^{3} + 1000 : \quad 10 \quad : 20 + \quad ~~ 613 \quad ~ · \quad ~~ \textcolor{#F0A}{10} \)
2. Dann die Potenzen berechnen
Es befindet sich eine Potenz im Term, diese gilt es zu berechnen.
\( = \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 4^{3} } }_{ \textcolor{#00F}{4·4·4 ~=~ 64} } + 1000 : 10 : 20 + 613 · 10 \\ = \quad \textcolor{#00F}{64} \quad ~~ + 1000 : 10 : 20 + 613 · 10 \)
3. Dann die Multiplikationen/Divisionen berechnen
Als nächstes berechnen wir die Divisionen und Multiplikationen.
Divisionen sind immer von links nach rechts zu rechnen:
\( = 64 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{1000 : 10} } : 20 + 613 · 10 \\ = 64 + \quad \textcolor{#00F}{100} \quad : ~ 20 + 613 · 10 \\ = 64 + \quad \underbrace{ \textcolor{#00F}{100 \quad : ~ 20} } + 613 · 10 \\ = 64 + \quad \quad \quad \textcolor{#00F}{5} \quad \quad + 613 · 10 \\ = 64 + \quad \quad \quad \textcolor{#00F}{5} \quad \quad + \underbrace{ \textcolor{#00F}{613 · 10} } \\ = 64 + \quad \quad \quad \textcolor{#00F}{5} \quad \quad + ~~ \textcolor{#00F}{6~130} \)
4. Abschließend die Additionen und Subtraktionen berechnen
\( = 64 + 5 + 6~130 \\ = 6~199 \)
5. Ergebnis
\( 4^{3} + 1000 : (7 + 3) : 20 + (696 - 83) · [2 + 4·(3 - 1)] \\ \bold{= 6~199} \)
Zur Kontrolle der Rechnung können wir den Rechenfreund benutzen.
Beispiel 3
Auszurechnen sei folgender Term:
\( 2^{4} + 4^{3} + (5^{4} + 10) · 2 - 6~965 - 2 · 45 - 10 \)
Wir zeigen nachfolgend die einzelnen Schritte zur Berechnung und welche Vorrangregeln zu beachten sind:
1. Zuerst die Klammern auflösen
Wir erkennen, dass sich Klammern im Term befinden. Diese müssen wir zuerst auflösen.
Die Klammer enthält eine Potenz, diese gilt es ebenfalls zu berechnen:
\( = 2^{4} + 4^{3} + \underbrace{ \textcolor{#00F}{(5^{4} + 10)} } · 2 - 6~965 - 2 · 45 - 10 \\ = 2^{4} + 4^{3} + \textcolor{#00F}{(5·5·5·5 + 10)} · 2 - 6~965 - 2 · 45 - 10 \\ = 2^{4} + 4^{3} + \textcolor{#00F}{(625 + 10)} · 2 - 6~965 - 2 · 45 - 10 \\ = 2^{4} + 4^{3} + \quad ~~ \textcolor{#00F}{635} \quad · 2 - 6~965 - 2 · 45 - 10 \)
2. Dann die Potenzen berechnen
Es befinden sich weitere Potenzen im Term, diese gilt es zu berechnen.
\( = \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 2^{4} } }_{ \textcolor{#00F}{2·2·2·2 ~=~ 16} } + \underbrace{ \textcolor{#F0A}{ 4^{3} } }_{ \textcolor{#F0A}{4·4·4 ~=~ 64} } + 635 · 2 - 6~965 - 2 · 45 - 10 \\ = \quad \quad \textcolor{#00F}{16} \quad \quad + \quad \textcolor{#F0A}{64} \quad ~~ + 635 · 2 - 6~965 - 2 · 45 - 10 \)
3. Dann die Multiplikationen/Divisionen berechnen
Als nächstes berechnen wir die Multiplikationen.
\( = 16 + 64 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 635 · 2 } } - 6~965 - \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 2 · 45 } } - 10 \\ = 16 + 64 + ~~ \textcolor{#00F}{1~270} - 6~965 - ~~~ \textcolor{#00F}{90} ~~ - 10 \)
4. Abschließend die Additionen und Subtraktionen berechnen
\( = 16 + 64 + 1~270 - 6~965 - 90 - 10 \\ = 80 + 1~270 - 6~965 - 100 \\ = 1~350 - 6~965 - 100 \\ = 1~350 - 7~065 \\ = -5~715 \)
5. Ergebnis
\( 2^{4} + 4^{3} + (5^{4} + 10) · 2 - 6~965 - 2 · 45 - 10 \\ \bold{= -5~715} \)
Zur Kontrolle der Rechnung können wir den Rechenfreund benutzen.