Wir hatten uns die Vorrangregeln beim Berechnen von Termen bereits angeschaut.
Die Reihenfolge beim Berechnen ergibt sich aus:
-
Vorrang von Klammern
Das heißt: Klammern werden als erstes berechnet. -
Vorrang von Potenzen
Das heißt: Potenzen werden vor Multiplikation und Division gerechnet. -
Punktrechnung vor Strichrechnung
Das heißt: Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion gerechnet.
Nun gilt es, dieses Wissen anzuwenden. Schauen wir uns im Folgenden einige erklärende Beispiele hierzu an.
Beispiel 1
Auszurechnen sei folgender Term:
\( 28 + 29 · 5 - (10 - 1) + 2^{2} · (2 + 3) \)
Wir zeigen nachfolgend die einzelnen Schritte zur Berechnung und welche Vorrangregeln zu beachten sind:
1. Zuerst die Klammern auflösen
Wir erkennen, dass sich Klammern im Term befinden. Diese gilt es zuerst aufzulösen.
\( = 28 + 29 · 5 - \underbrace{ \textcolor{#00F}{(10 - 1)} }_{ \textcolor{#00F}{9} } + 2^{2} · \underbrace{ \textcolor{#F0A}{(2 + 3)} }_{ \textcolor{#F0A}{5} } \\ = 28 + 29 · 5 - \quad \textcolor{#00F}{9} \quad \quad + 2^{2} · \quad \textcolor{#F0A}{5} \)
2. Dann die Potenzen berechnen
Es befindet sich eine Potenz im Term, diese gilt es zu berechnen.
\( = 28 + 29 · 5 - 9 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{2^{2} } }_{ \textcolor{#00F}{4} } · 5 \\ = 28 + 29 · 5 - 9 + ~~ \textcolor{#00F}{4} ~~ · 5 \)
3. Dann die Multiplikationen/Divisionen berechnen
Als nächstes berechnen wir die beiden Multiplikationen:
\( = 28 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{29 · 5} }_{ \textcolor{#00F}{145} } - 9 + \underbrace{ \textcolor{#F0A}{4 · 5} }_{ \textcolor{#F0A}{20} } \\ = 28 + ~~ \textcolor{#00F}{145} ~ - 9 + ~~ \textcolor{#F0A}{20} \)
4. Abschließend die Additionen und Subtraktionen berechnen
\( = 28 + 145 - 9 + 20 \\ = 28 + 145 + 20 - 9 \\ = 193 - 9 \\ = 184 \)
5. Ergebnis
\( 28 + 29 · 5 - (10 - 1) + 2^{2} · (2 + 3) \\ \bold{= 184} \)
Zur Kontrolle der Rechnung können wir den Rechenfreund benutzen.
Beispiel 2
Auszurechnen sei folgender Term:
\( 3^{2} + 4^{2} · 5^{2} + (4 + 60) · 3 \)
Wir zeigen nachfolgend die einzelnen Schritte zur Berechnung und welche Vorrangregeln zu beachten sind:
1. Zuerst die Klammern auflösen
Wir erkennen, dass sich Klammern im Term befinden. Diese gilt es zuerst aufzulösen.
\( = 3^{2} + 4^{2} · 5^{2} + \underbrace{ \textcolor{#00F}{(4 + 60)} }_{ \textcolor{#00F}{64} } · 3 \\ = 3^{2} + 4^{2} · 5^{2} + \quad \textcolor{#00F}{64} \quad ~ · 3 \)
2. Dann die Potenzen berechnen
Es befinden sich drei Potenzen im Term, diese gilt es zu berechnen.
\( = \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 3^{2} } }_{ \textcolor{#00F}{9} } + \underbrace{ \textcolor{#A0A}{ 4^{2} } }_{ \textcolor{#A0A}{16} } · \underbrace{ \textcolor{#F00}{ 5^{2} } }_{ \textcolor{#F00}{25} } + 64 · 3 \\ = ~~ \textcolor{#00F}{9} ~~ + ~ \textcolor{#A0A}{16} ~~ · ~ \textcolor{#F00}{25} ~\, + 64 · 3 \)
3. Dann die Multiplikationen/Divisionen berechnen
Als nächstes berechnen wir die beiden Multiplikationen:
\( = 9 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 16 · 25 } }_{ \textcolor{#00F}{400} } + \underbrace{ \textcolor{#A0A}{ 64 · 3 } }_{ \textcolor{#A0A}{192} } \\ = 9 + ~~ \textcolor{#00F}{400} ~~ + ~~ \textcolor{#A0A}{192} \)
4. Abschließend die Additionen zusammenfassen
\( = 9 + 400 + 192 \\ = 601 \)
5. Ergebnis
\( 3^{2} + 4^{2} · 5^{2} + (4 + 60) · 3 \\ \bold{= 601} \)
Zur Kontrolle der Rechnung können wir den Rechenfreund benutzen.
Beispiel 3
Auszurechnen sei folgender Term:
\( 4^{3} : (1 + 1) - (14 - 5)·5 : 3 \)
Wir zeigen nachfolgend die einzelnen Schritte zur Berechnung und welche Vorrangregeln zu beachten sind:
1. Zuerst die Klammern auflösen
Wir erkennen, dass sich Klammern im Term befinden. Diese gilt es zuerst aufzulösen.
\( = 4^{3} : \underbrace{ \textcolor{#00F}{(1 + 1)} }_{ \textcolor{#00F}{2} } - \underbrace{ \textcolor{#A0A}{(14 - 5)} }_{ \textcolor{#A0A}{9} }·5 : 3 \\ = 4^{3} : \quad ~ \textcolor{#00F}{2} \quad ~ - \quad ~~ \textcolor{#A0A}{9} \quad ~~ · 5 : 3 \)
2. Dann die Potenzen berechnen
Es befindet sich eine Potenz im Term, diese gilt es zu berechnen.
\( = \underbrace{ \textcolor{#00C}{ 4^{3} } }_{ \textcolor{#00C}{ 4·4·4 ~ = ~ 64 } } : 2 - 9 · 5 : 3 \\[1ex] = \quad ~ \textcolor{#00C}{ 64 } \quad ~~ : 2 - 9 · 5 : 3 \)
3. Dann die Multiplikationen/Divisionen berechnen
Als nächstes berechnen wir die Multiplikationen und Divisionen:
\( = \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 64 : 2 } }_{ \textcolor{#00F}{32} } - \underbrace{ \textcolor{#A0A}{ 9 · 5 : 3 } }_{ \textcolor{#A0A}{45 : 3 = 15} } \\[1ex] = ~~~ \textcolor{#00F}{32} ~~ - ~~~ \textcolor{#A0A}{15} \)
4. Abschließend die Additionen zusammenfassen
\( = 32 - 15 \\ = 17 \)
5. Ergebnis
\( 4^{3} : (1 + 1) - (14 - 5)·5 : 3 \\ \bold{= 17} \)
Zur Kontrolle der Rechnung können wir den Rechenfreund benutzen.