Eine verschachtelte Wurzel liegt vor, wenn man eine Wurzel aus einer Wurzel zieht: \( \sqrt [ a ]{ \sqrt [ b ]{ x } } \)
Bei einer verschachtelten Wurzel kann man die Wurzelexponenten miteinander multiplizieren.
$$ \sqrt [ a ]{ \sqrt [ b ]{ x } } = \sqrt [ a \cdot b ]{ x } $$
Wir können die Formel über die Umwandlung zu Potenzen herleiten (\( \sqrt[a]{b} = b^{\frac{1}{a}} \)), dies sei mit Werten gezeigt:
\( \sqrt[ \textcolor{#F00}{3} ]{\sqrt[2]{5}} = \sqrt[ \textcolor{#F00}{3} ]{ (\sqrt[2]{5})^\textcolor{#00F}{1} } = (\sqrt[2]{5})^\frac{\textcolor{#00F}{1}}{\textcolor{#F00}{3}} \\ (\sqrt[2]{5})^\frac{1}{3} = (\sqrt[\textcolor{#F00}{2}]{5^\textcolor{#00F}{1}})^\frac{1}{3} = (5^\frac{\textcolor{#00F}{1}}{\textcolor{#F00}{2}})^\frac{1}{3} \\ = 5^{\frac{1}{2}·\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{2·3}} \\ 5^{\frac{1}{2·3}} = \sqrt[2·3]{5} = \sqrt[3·2]{5} \)
Wir erkennen die Formel am ersten und letzten Term:
\( \sqrt[ \textcolor{#F00}{3} ]{\sqrt[ \textcolor{#00F}{2} ]{5}} = \sqrt[\textcolor{#F00}{3}·\textcolor{#00F}{2}]{5} \)
Allgemein damit:
\( \sqrt[ \textcolor{#F00}{a} ]{\sqrt[ \textcolor{#00F}{b} ]{c}} = \sqrt[\textcolor{#F00}{a}·\textcolor{#00F}{b}]{c} \)