Mittelwerte werden gebildet, um allgemeingültigen Aussagen über ein Ensemble von gegebenen Werten machen zu können.
Die wichtigsten Mittelwerte sind:
- Arithmetisches Mittel
- Median
- Modus
- Geometrisches Mittel
- Harmonisches Mittel
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt genannt, ist der lineare und ungewichtete Mittelwert aus einer Anzahl n von gegebenen Werten xi, auch Beobachtungsreihe genannt.
\( \overline x = \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 1}^N { {x_n} } \) Gl. 84
Beispiel:
Berechnung des Zensurendurchschnitts.
Setzt sich die Gesamtheit der Werte aus mehreren Teilmengen x1i; x2i; ... zusammen, wird das arithmetische Mittel wie folgt gebildet:
\( \overline x = \frac{1}{ { {N_1} + {N_2} + ...} }\left( {\sum\limits_{n = 1}^{ {N_1} } { {x_{1n} } } + \sum\limits_{n = 1}^{ {N_2} } { {x_{2n} } } + ...} \right) \) Gl. 85
Gleichbedeutend dazu ist die Berechnung des Gesamtmittelwertes, wenn die Einzelmittelwerte und die Kardinalzahlen (Anzahl der Elemente) der Teilmengen bekannt sind:
\( \overline x = \frac{1}{ { {N_1} + {N_2} + ...} }\left( { {N_1}\overline { {x_1} } + {N_2}\overline { {x_2} } + ...} \right) \) Gl. 86
Die Bildung des Gesamtmittelwertes als Mittelwert der einzelnen Mittelwerte ist nicht zulässig!
Beispiel:
Ein Unternehmen hat 20 Angestellte mit einem durchschnittlichen monatlichen Einkommen von 2000 €, und 80 Arbeiter mit einem durchschnittlichen monatlichen Einkommen von 1200 €. Wie hoch sind die durchschnittlichen monatlichen Lohnkosten des Unternehmens? 1360 €.
Median und Modus
Der Median xMED, auch Zentralwert genannt, ist der Wert einer der Größe nach geordneten Beobachtungsreihe, der in der Mitte steht.
Der Modus xMOD ist der Wert der Reihe, der am häufigsten vorkommt.
Beispiel:
In der letzten Matheklausur wurden folgende Noten erzielt: 1, 2, 6, 5, 2, 2, 3
Dann ist xMED = 3 und xMOD = 2.
Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel xGEO entspricht der n-ten Wurzel aus dem Produkt aller n Werte einer Beobachtungsreihe. Das geometrische Mittel wird immer dann benötigt, wenn es um die Analyse multiplikativer numerischer Relationen geht, z.B. bei der Analyse durchschnittlicher prozentualer Veränderungen.
\( x_{GEO} = \sqrt[N]{ {\prod\limits_{n = 1}^N { {x_n} } } } \) Gl. 87
Alternative Interpretation:
Logarithmieren von Gl. 87 ergibt:
\( \log {x_{GEO} } = 1/N\left( {\sum\limits_{n = 1}^N {\log {x_n} } } \right) \) Gl. 88
Der Logarithmus des geometrischen Mittels xGEO entspricht dem arithmetischen Mittelwert der logarithmierten Einzelwerte der Beobachtungsreihe. Diese Betrachtungsweise ist für physiologische Phänomene (z.B. für Lautstärke- oder Lichtstärkempfindung) sinnvoll.
Beispiel 1
Der Schallpegel wird in dB (deziBel), die Schallstärkeempfindung in Phon gemessen. Beide Maße beziehen den aktuellen Schalldruck p auf den Schalldruck p0 an der Hörschwelle und werden nach dem Weber-Fechnerschen-Gesetz logarithmisch dargstellt:
Schallpegel/dB = 20 lg (p/p0)
Wird nun der mittlere Schalldruck gesucht, erfolgt die Mittlung linear über die Schallpegel, die ja logarithmisch dargestellt werden, oder durch die geometrische Mittelbildung der Schalldrücke.
Beispiel 2
Der Zinssatz einer Bundesanleihe steige von 0,75% im ersten Jahr über 1 %, 1,5 %, 2 % auf 3,5 % im fünften Jahr.
Das eingesetzte Kapital K verzinst sich im ersten Jahr um p1 % auf
\( {K_1} = K \cdot \left( {1 + {p_1} } \right) \) im folgende Jahr um p2 % auf
\({K_2} = {K_1} \cdot \left( {1 + {p_2} } \right) = K \cdot \left( {1 + p_1} \right) \cdot \left( {1 + {p_2} } \right)\) schließlich auf
\({K_N} = K \cdot \prod\limits_{n = 1}^N {\left( {1 + {p_n} } \right)} \) nach N Jahren.
Nun wird nach einem durchschnittlichen Zinssatz gefragt, der nach Ablauf von N Jahren ebenfalls auf den Kapitalwert KN führt. Also
\(K \cdot {\left( {1 + \overline p } \right)^N} = K \cdot \prod\limits_{n = 1}^N {\left( {1 + {p_n} } \right)} \)
Wurzelziehen auf beiden Seiten führt zu
\(\left( {1 + \overline p } \right) = \sqrt[N]{ {\prod\limits_{n = 1}^N {\left( {1 + {p_n} } \right)} } } \quad \Rightarrow \quad \overline p = \sqrt[N]{ {\prod\limits_{n = 1}^N {\left( {1 + {p_n} } \right)} } } - 1 \)
Dann beträgt die durchschnittliche Zunahme im Zahlenbeispiel nicht 1,75% (arithmetisches Mittel), sondern nur 1,597% (geometrisches Mittel).
Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel xHARM ist immer dann anzuwenden, wenn die gegebenen Werte als Quotienten (z.B. Geschwindigkeitswerte) definiert sind.
\( {x_{HARM} } = \frac{N}{ {\sum\limits_{n = 1}^N {\frac{1}{ { {x_n} } } } } } \) Gl. 89
Beispiel
Ein Radfahrer fährt eine Strecke L einmal mit und ein anders mal gegen den Wind. Auf der ersten Strecke beträgt seine Geschwindigkeit 15 km/h, auf der Rückfahrt hingegen nur 10 km/h. Dann beträgt die mittlere Geschwindigkeit nicht 12,5 km/h (arithmetisches Mittel), sondern nur 12 km/h.
Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich als Quotient von Gesamtlänge L geteilt durch die Gesamtdauer T.
\( \overline v = \frac{L}{T} = \frac{ {\sum\limits_{n = 1}^N { {l_n} }} }{ {\sum\limits_{n = 1}^N { {t_n} } } } \) Gl. 90
Unter der Voraussetzung, dass die N Längenintervalle li alle gleichlang sind:
\( \overline v = \frac{L}{T} = \frac{ {N \cdot l} }{ {\sum\limits_{n = 1}^N { {t_n} } } } = \frac{N}{ {\sum\limits_{n = 1}^N {\frac{1}{ { {v_n} } } } } } \) Gl. 91