Bis jetzt wissen wir nur, wie man Zinsen berechnet, die jährlich ausgezahlt werden. Was ist aber, wenn wir einen jährlichen Zinssatz haben, aber nur für einen Zeitraum von einigen Monaten unser Kapital anlegen wollen? Also ein Zeitraum, der kleiner ist als ein ganzes Jahr?
Schauen wir uns das einmal an:
Sagen wir, wir haben ein Kapital von 10.000 € und einen Zinssatz von 5 % p.a. Die Höhe der Zinsen, die wir nach einem Jahr erhalten, hätten wir nun mit Z = K · p berechnet.
Genauer dargestellt, hätten wir diese Formel benutzt:
Z = K · p · 1
Die 1 steht für den Zeitanteil an einem ganzen Jahr. Möchten wir die Zinsen für ein halbes Jahr berechnen, so erhalten wir auch nur die Hälfte (1/2) der Zinsen. Für ein halbes Jahr haben wir also Zinsen in Höhe von:
Z = K · p · \( \frac{1}{2} \)
Z = 10.000 € · 0,05 · \( \frac{1}{2} \)
Z = 250 €
Was wurde hier also gemacht? Wir haben unseren Zeitanteil in die Formel eingebaut. Anstatt sich auf ein Jahr zu beziehen, können wir auch von Monaten ausgehen. Ein halbes Jahr sind 6 Monate. Wir können als Zeitanteil deswegen auch 6/12 schreiben und kommen auf das gleiche Ergebnis:
Z = K · p · \( \frac{6}{12} \)
Z = 10.000 € · 0,05 · \( \frac{6}{12} \)
Z = 250 €
Wir sehen, dass sich nichts am Ergebnis ändert. Wer sich an die Bruchrechnung erinnert, der weiß, dass \( \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \), also beide Brüche den gleichen Wert haben. Wollen wir die Zinsen noch genauer berechnen, so nehmen wir uns die Tage als Zeiteinheit. Ein halbes Jahr sind 180 von 360 Tagen.
In der Zinsrechnung wird aus Gründen der Einfachheit jeder Monat mit 30 Tagen berechnet.
Wir haben somit:
Z = K · p · \( \frac{180}{360} \)
Z = 10.000 € · 0,05 · \( \frac{180}{360} \)
Z = 250 €
Zusammengefasst erhalten wir für eine zeitgenaue Zinsrechnung die Gleichung:
Z = K · p · t
wobei t unser Zeitanteil ist (t steht in Formeln meist für Zeit, englisch „time“).
Durch Umstellen dieser Formel erhalten wir auch Gleichungen für das Kapital und den Zinssatz in der zeitgenauen Zinsrechnung:
Für das Kapital K:
\( Z = K · p · t \quad | :(p · t) \\ K = \frac{Z}{p · t} \)
Für den Zinssatz p:
\( Z = K · p · t \quad | :(K · t) \\ p = \frac{Z}{K · t} \)
Formeln für zeitgenaues Zinsrechnen
Hier noch einmal alle Formeln für das zeitgenaue Zinsrechnen in der Übersicht:
\( Z = K \cdot p \cdot t \)
\( K = \frac{Z}{p \cdot t} \)
\( p = \frac{Z}{K \cdot t} \)
\( t = \frac{Z}{K \cdot p} \)