Beispielaufgaben zu Additionstheoremen

Aufgabe: Berechne sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = 0

Die erste Aufgabe soll lauten:

sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = 0 für das Intervall [-90°, 90°]

Hier müssen wir erkennen, dass sich ein Additionstheorem dahinter verbirgt, und zwar:

sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) = sin(α + β)

Mit den Werten aus der Aufgabe:

sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = sin(x + 20°)

Wir dürfen also schreiben:

sin(x + 20°) = 0

Und dies können wir einfach lösen:

sin(x + 20°) = 0   | sin^-1
x + 20° = sin^-1(0)
x + 20° = 0°       | -20°
x = -20°

Aufgabe: sin(180° - x) = sin(x) nachweisen

Dies ist eine Identität, die wir nun nachweisen wollen. Hierzu nutzen wir das Additionstheorem für Sinus:

sin(α ± β) = sin(α) · cos(β) ± cos(α) · sin(β)

Und setzen beide Werte aus der Aufgabe ein:

sin(α - β) = sin(α) · cos(β) - cos(α) · sin(β)   | a = 180°, β = x
sin(180° - x) = sin(180°) · cos(x) - cos(180°) · sin(x)
sin(180° - x) = 0 · cos(x) - (-1) · sin(x)
sin(180° - x) = sin(x)

Richtig. Wir haben die Identität mit dem Additionstheorem nachgewiesen.

Aufgabe: Berechne 2·cos(α) - 1 / cos(α) = 0

Berechnen wir diese Aufgabe für das Intervall [0°, 90°]. Formen wir die Gleichung um, sodass wir eine Doppelwinkelfunktion erhalten:

2·cos(α) - ¹/_cos(α) = 0

Die Doppelwinkelfunktion lautet: cos(2·α) = 2 · cos²(α) - 1, das heißt wir können in der Gleichung ein cos²(α) erzeugen:

2·cos(α) - ¹/_cos(α) = 0    | · cos(α)
2·cos(α)·cos(α) - cos(α) · ¹/_cos(α) = 0
2·cos²(α) - 1 = 0

Den Linksterm können wir nun mit Hilfe der Doppelwinkelfunktion ersetzen:

2·cos²(α) - 1 = 0
cos(2·α) = 0    | cos^-1
2·a = cos^-1(0)
2·a = 90°       | :2
a = 45°

Fertig, dies ist die Lösung unserer Aufgabe.

Aufgabe: Drücke tan(α) + tan(β) = 0 mit Sinus aus

Der erste Schritt bei dieser Aufgabe ist das Umwandeln des Tangens. Dieser lässt sich bekanntlich darstellen als Sinus/Kosinus:

tan(α) + tan(β) = 0

tan(α) + tan(β) = 0

sin(α)/cos(α) + sin(β)/cos(β) = 0

Entfernen wir als nächstes den Kosinus aus den Nennern der Brüche:

sin(α)/cos(α) + sin(β)/cos(β) = 0     | · cos(α)
sin(α) + cos(α) · sin(β)/cos(β) = 0   | · cos(β)
sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) = 0

Der Linksterm ist das Additionstheorem für Sinus, das heißt, wir können ihn ersetzen mit:

sin(α + β) = 0

Die Gleichung tan(α) + tan(β) = 0 kann also nur mit Sinus ausgedrückt werden als sin(α + β) = 0.