Herleitung des Additionstheorems für Tangens
Klären wir im Folgenden wie das Additionstheorem für tan(α + β) lautet. Leiten wir dieses nicht graphisch, sondern rechnerisch her.
Wir haben gelernt, dass wir den Tangens auch ausdrücken können als:
\( \tan(\alpha) = \frac{ \sin(\alpha) } { \cos(\alpha) } \)
Teilen wir Winkel α nun in zwei Teilwinkel, wir schreiben einfach (a+β) statt α:
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha+\beta) } { \cos(\alpha+\beta) } \)
Verwenden wir nun das Additionstheorem für den Sinus:
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha+\beta) } { \cos(\alpha+\beta) } \\ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha+\beta) } { \cos(\alpha+\beta) } \\ \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha) · \cos(\beta) + \cos(\alpha) · \sin(\beta) } { \cos(\alpha+\beta) } \)
Und nun noch für den Nenner das Additionstheorem für Kosinus anwenden:
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha) · \cos(\beta) + \cos(\alpha) · \sin(\beta) } { \cos(\alpha) · \cos(\beta) - \sin(\alpha) · \sin(\beta) } \)
Nun wollen wir die Sinus- und Kosinusterme in Tangensterme umwandeln. Mit Blick auf den ersten Term sin(α) · cos(β) bedeutet das, dass wir durch cos(α) · cos(β) dividieren, sodass nur sin(α) / cos(α) stehen bleibt, was dann als tan(α) geschrieben werden darf. Jedoch müssen wir die Division in allen Termen berücksichtigen:
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \sin(\alpha) · \cos(\beta) + \cos(\alpha) · \sin(\beta) } { \cos(\alpha) · \cos(\beta) - \sin(\alpha) · \sin(\beta) } \quad |:[ \cos(\alpha) · \cos(\beta) ] \)
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \frac{\sin(\alpha) · \cos(\beta)}{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) } + \frac{ \cos(\alpha) · \sin(\beta) }{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) } } { \frac{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) }{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) } - \frac{ \sin(\alpha) · \sin(\beta) }{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) } } \)
Ziel ist es, eine Formel zu erhalten, wo nur tan(α) und tan(β) stehen. Um Sinus und Kosinus zu beseitigen, betrachten wir uns die einzelnen Brüche. Wir stellen fest, dass sich einiges kürzen und in Tangens umwandeln lässt:
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \frac{\sin(\alpha) }{ \cos(\alpha) } + \frac{ \sin(\beta) }{ \cos(\beta) } } { \frac{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) }{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) } - \frac{ \sin(\alpha) · \sin(\beta) }{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) } } \)
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \frac{\sin(\alpha) }{ \cos(\alpha) } + \frac{ \sin(\beta) }{ \cos(\beta) } } { 1 - \frac{ \sin(\alpha) · \sin(\beta) }{ \cos(\alpha) · \cos(\beta) } } \)
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \frac{\sin(\alpha) }{ \cos(\alpha) } + \frac{ \sin(\beta) }{ \cos(\beta) } } { 1 - \frac{ \sin(\alpha) }{ \cos(\alpha) } · \frac{ \sin(\beta) }{ \cos(\beta) } } \)
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \tan(\alpha) + \tan(\beta) } { 1 - \tan(\alpha) · \tan(\beta) } \)
Fertig. Wir notieren das Additionstheorem für Tangens mit:
\( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \tan(\alpha) + \tan(\beta) } { 1 - \tan(\alpha) · \tan(\beta) } \)
Additionstheorem für tan(α - β)
Auch hier gehen wir so vor, dass wir zuerst β mit -β ersetzen:
\( \tan(α + β) = \frac{ \tan(α) + \tan(β) }{ 1 - \tan(α) · \tan(β) } \)
\( \tan(α + (-β)) = \frac{ \tan(α) + \tan(-β) }{ 1 - \tan(α) · \tan(-β) } \)
Die Identität, die wir jetzt benötigen, lautet tan(-x) = -tan(x), so beseitigen wir die negativen Vorzeichen:
\( \tan(α + (-β)) = \frac{ \tan(α) + \tan(-β) }{ 1 - \tan(α) · \tan(-β) } \)
\( \tan(α + (-β)) = \frac{ \tan(α) - \tan(β) }{ 1 + \tan(α) · \tan(β) } \)
Schon haben wir das Additionstheorem für Tangens:
\( \tan(α - β) = \frac{ \tan(α) - \tan(β) }{ 1 + \tan(α) · \tan(β) } \)
Zusammenfassung
Jetzt können wir die beiden Additionstheoreme für Tangens festhalten mit:
1. \( \tan(\alpha+\beta) = \frac{ \tan(\alpha) + \tan(\beta) } { 1 - \tan(\alpha) · \tan(\beta) } \)
2. \( \tan(α - β) = \frac{ \tan(α) - \tan(β) }{ 1 + \tan(α) · \tan(β) } \)
Zusammengefasst mit Plus-Minus-Zeichen und Minus-Plus-Zeichen lautet die Formel:
\( \tan(α ± β) = \frac{ \tan(α) ± \tan(β) }{ 1 ∓ \tan(α) · \tan(β) } \)