Hier können wir genau wie bei der Doppelwinkelfunktion für Sinus das 2·a als (α + α) schreiben:
cos(2·α) = …
cos(α + α) = …
Verwenden wir das Additionstheorem für Kosinus und setzen ein:
cos(α + β) = cos(α) · cos(β) - sin(α) · sin(β) | β = a
cos(α + α) = cos(α) · cos(α) - sin(α) · sin(α)
cos(α + α) = cos2(α) - sin2(α)
Als nächstes gilt es, das sin2(α) in Kosinus umzuformen. Mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras ist dies einfach möglich:
cos2(α) + sin2(α) = 1 | - cos2(α)
sin2(α) = 1 - cos2(α)
Dies nun einsetzen:
cos(α + α) = cos2(α) - sin2(α)
cos(α + α) = cos2(α) - (1 - cos2(α))
cos(α + α) = cos2(α) - 1 + cos2(α)
cos(α + α) = 2 · cos2(α) - 1
Und dies ist auch schon die fertige Formel für die Doppelwinkelfunktion für Kosinus:
cos(2·α) = 2 · cos2(α) - 1