Um hier eine Lösungsformel zu bilden, können wir das 2·a als (α + α) notieren:
sin(2·α) = …
sin(α + α) = …
Und nun das Additionstheorem für Sinus nutzen:
sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) | β = a
sin(α + α) = sin(α) · cos(α) + cos(α) · sin(α)
sin(α + α) = sin(α) · cos(α) + sin(α) · cos(α)
Wir sehen, dass der Term sin(α) · cos(α) zwei Mal vorhanden ist, wir schreiben also:
sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α)
Als nächstes wollen wir das cos(α) ersetzen, hierzu erinnern wir uns an den trigonometrischen Pythagoras:
cos2(α) + sin2(α) = 1
Formen wir diese Gleichung um nach Kosinus:
cos2(α) + sin2(α) = 1 | - sin2(α)
cos2(α) = 1 - sin2(α) | √
cos(α) = √( 1 - sin2(α) )
Wir können nun cos(α) ersetzen:
sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α)
sin(α + α) = 2 · sin(α) · √( 1 - sin2(α) )
Und dies ist die Lösungformel:
sin(2·α) = 2 · sin(α) · √( 1 - sin2(α) )