Die Realität der Mathematik besteht nicht in der materiellen (physikalischen) Wirklichkeit, sondern in der Widerspruchsfreiheit ihrer Aussagen. In der Physik erweist sich das Experiment als das Richtschwert für jegliche Theorie, in der Mathematik ist es der Beweis, der diese Rolle zu übernehmen hat.
Ein Beweis ist in der Mathematik das Zurückführen eines behaupteten Sachverhaltes (SATZ) auf die AXIOME des Systems, wobei nur Folgerungen entsprechend der Logik erlaubt sind.
Eine Beweiskette setzt sich zusammen aus: Voraussetzung → Behauptung → Beweis
Beispiel:
Voraussetzung: Grundrechenarten, Quadratische Ergänzung und Wurzeln
Behauptung: 4 = 5
Beweis:
x = 4, y = 5
\( \begin{aligned} x + y = 9 \quad & | \text{ Erweitern mit (x – y) } \\ x^2 - y^2 = 9·(x - y) \quad & | \text{ nach Variablen ordnen } \\ x^2 - 9x = y^2 - 9y \quad & | \text{ quadratische Ergänzung + } \frac{81}{4} \\ x^2 - 9x + \frac{81}{4} = y^2 - 9y + \frac{81}{4} \quad & | \text{ 2. Binomische Formel } \\ (x - \frac{9}{2})^2 = (y - \frac{9}{2})^2 \quad & | \text{ Wurzel ziehen } \\ \underline{ x = y } \end{aligned} \)
also ist 4 = 5 (!!!) q.e.d.
Natürlich ist 4 nicht gleich 5. Neben Verfahrensfehlern (i.e. die Wurzel hat immer zwei Lösungen, wovon hier nur eine betrachtet wurde!), verstößt die Behauptung schon gegen ein Axiom der Mathematik, nämlich dass bei zwei aufeinander folgende (natürliche) Zahlen die eine Zahl stets kleiner (und nicht gleich) als die folgende Zahl ist.