Oft ist es unmöglich, einen allgemein gültigen direkten Beweis anzutreten, in solchen Fällen ist es einfacher zu beweisen, dass das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung zu einem Widerspruch führt.
Der indirekte Beweis ist ein Beweis durch das Gegenteil:
Wenn A nicht wahr ist, kann auch B nicht wahr sein!
¬A ⇒ ¬B („¬A impliziert ¬B“)
Beispiel 1:
Während seines dreijährigen Hausarrests befasste sich Galileo Galilei (1564 - 1642) mit den Gesetzmäßigkeiten des freien Falls. Dabei musste er sich mit der verbreiteten Ansicht auseinander setzen, dass schwere Körper schneller als langsame fallen würden. Diese Ansicht zu widerlegen gebrauchte Galilei einen indirekten Beweis:
Angenommen, ein schwerer Stein fällt schneller als ein leichter, dann ergibt sich ein Widerspruch durch folgende Überlegung. Man stelle sich vor, ein schwerer Stein wird in zwei Teile zerbrochen. Beide Teile sind zwangsläufig leichter als der ganze Stein und beide müssten folglich auch langsamer fallen als dieser. Nun werden beide Teile aneinander gefügt und fallen gelassen. Jeder Teil für sich fällt laut Voraussetzung langsamer als der ungeteilte Stein, also muss der zusammengefügte Stein langsamer fallen als der ungeteilte Stein. Da dem aber nicht so ist, liegt ein Widerspruch vor, die obige Annahme ist also nicht richtig.
Beispiel 2:
Voraussetzung: Es werden nur Zahlenpaare x∈∞, x²∈∞ betrachtet.
Behauptung:
Wurzeln gerader Quadrate sind stets selbst gerade.
x² gerade ⇒ x gerade
indirekter Beweis:
Es sei x = 2x‘ + 1 (unbedingt ungerade)
→ x² = 4(x‘)² + 4x‘ + 1 kann nicht gerade sein. Es gibt also kein ungerades x, das zu einem geraden Quadrat führt! Folglich sind die Quadrate gerader Zahlen wiederum gerade Zahlen.
q.e.d.
Beispiel 3:
Es ist zu beweisen, dass die Quadratwurzel aus 2 nicht durch eine Rationale*) Zahl darstellbar ist.
Voraussetzung: p, q seien teilerfremde natürliche Zahlen
Behauptung: \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \quad \Rightarrow \quad 2 · {q^2} = {p^2} \)
Beweis:
Aus der Behauptung folgt, dass p² eine gerade Zahl sein muss. Wenn aber p² gerade ist, muss auch p gerade sein (wurde bereits im obigen Beispiel bewiesen). Also:
\( p = 2 \cdot p' \quad \text{p ist immer gerade!} \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot {q^2} = 4 \cdot {(p')^2} \)
\({q^2} = 2 \cdot {(p')^2}\) ⇒ q² muss also auch gerade sein.
Damit sind p und q nicht teilerfremd, da ja durch 2 teilbar. Das steht in einem Widerspruch zur Voraussetzung.
Folglich kann die Quadratwurzel aus 2 nicht durch Rationale Zahlen abgebildet werden.
q.e.d.
*) Eine Rationale (gebrochene) Zahl kann stets als Quotient aus zwei Ganzen Zahlen dargestellt werden.