Um zu vollständigen Beweisen zu gelangen, ist die einfache Beweisführung A ⇒ B (A impliziert B) nicht ausreichend.
Beispiel 1:
Aussage P: x ist durch 6 teilbar.
Aussage Q: x ist durch 3 teilbar
Implikation: P ⇒ Q
Hinreichende Bedingung
P ist hinreichend für Q
Wenn x durch 6 teilbar ist, muss x auch durch 3 teilbar sein.
... und Q ⇒ P?
Notwendige Bedingung
Q ist notwendig, aber nicht hinreichend für P
Damit x durch 6 teilbar ist, muss x mindestens auch durch 3 teilbar sein.
A ist hinreichend für B. Es genügt, dass A wahr ist, dann ist zwingend auch B wahr. B ist notwendig für A. Ohne B kann A nicht erfüllt sein (siehe Wahrheitstafel Implikation).
Vollständig ist eine Beweisführung, wenn ein notwendiger und hinreichender Beweis angeführt werden kann: A ⇔ B.
Beispiel 2:
Aussage: P: x ist durch 6 teilbar
Aussage Q: x ist (durch 3 teilbar) ∧ gerade
Notwendige und hinreichende Bedingung
P ⇔ Q
Q ist notwendig und hinreichend für P
Wenn x gerade (durch 2 teilbar) und durch 3 teilbar ist, dann ist x auch durch 6 teilbar. Die Umkehrung dieser Aussage ist ebenso wahr.
Ein vollständiger Beweis muss auch im Umkehrschluss zu richtigen Aussagen führen:
{A ⇔ B} ⇔ { (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) }