Auch hier wollen wir die Formel grafisch darstellen. Dazu schreiben wir die binomische Formel um:
(a - b)2
= a2 - 2ab + b2
= a2 - ab - ab + b2
= a2 - ab + b2 - ab
Wir wollen also nachweisen, dass die Fläche (a - b)2 genauso groß ist wie die Fläche a2 - ab + b2 - ab. Das sind also vier Teilflächen: a2, ab, b2, ab.
Im Folgenden stellen wir diese Flächen grafisch dar:
Das a2 können wir als ein Quadrat mit der Seitenlänge a darstellen:
Zuerst teilen wir die Quadratsseite a auf in die zwei Teilstrecken b und (a-b), denn (a-b) + b = a bzw. a - b bedeutet a ohne b.
Jetzt ergeben sich vier Teilflächen, die wir einzeichnen und berechnen können:
Zur Erinnerung: Unsere Flächenformel lautet a2 - ab + b2 - ab.
Nun müssen wir die Fläche ab vom großen Quadrat a2 abziehen (das entspricht dem ersten Teil der Formel: a2 - a·b + b2 - ab):
Dann bleiben zwei Teilflächen übrig:
Wir haben nun also a2 - ab dargestellt. Jetzt geht es weiter mit + b2 - ab.
Mit Blick auf die zwei übrigen Teilflächen erkennen wir, dass uns das kleine Quadrat b2 links oben fehlt. Wenn wir dieses dort anfügen, können wir horizontal noch einmal die Fläche a·b abziehen. Also ergänzen wir die Fläche b2. Wir addieren sie dazu. Das ist der markierte Teil in der Formel: a2 - a·b + b2 - a·b.
Danach können wir die Fläche a·b abziehen (a2 - a·b + b2 - a·b).
Dann bleibt schließlich die Fläche (a - b)2 übrig:
Hier noch mal alle Schritte in einer Animation zusammengefasst:
Damit hätten wir die zweite Binomische Formel auch grafisch erklärt:
= a2 - 2·a·b + b2
= a2 - a·b + b2 - a·b
= (a - b)2