Gegeben sind die drei Seiten a, b und c. Gesucht ist der Winkel γ.
Lösung:
Kosinussatz aufstellen:
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)
Umstellen nach cos(γ):
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ) | -c2
0 = -c2 + a2 + b2 - 2ab·cos(γ) | +2ab·cos(γ)
2ab·cos(γ) = -c2 + a2 + b2 | :2ab
\( \cos (γ) = \frac{-c^{2}+a^{2}+b^{2}}{2·ab} \)
Arkuskosinus anwenden, um Winkel berechnen zu können:
\( γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) \)
Falls cos(γ) negativ sein sollte, so ist γ zwischen 90° und 180° groß.
Alle Winkelformeln ausgehend vom Kosinussatz
Im Folgenden sind alle Formeln aufgeführt, die wir benötigen, um Winkel aus den Dreiecksseiten zu berechnen. Sie basieren auf dem Kosinussatz:
\( α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right) \)
\( β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right) \)
\( γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) \)