Einen direkten Zusammenhang zwischen Kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten stellt die Eulerschen Formel her. Sie besagt, dass eine Exponentialfunktion ex mit imaginären Exponenten als komplexe Summe von Winkelfunktionen nach folgender Gleichung ausgedrückt werden kann:
\( {e^{i\phi } } = \cos \left( \phi \right) + i \cdot \sin \left( \phi \right) \) Gl. 38
daher
\( \underline z = x + iy = \left| {\underline z } \right| \cdot \left( {\cos \left( \phi \right) + i \cdot \sin \left( \phi \right)} \right) = \left| {\underline z } \right| \cdot {e^{i \cdot \phi } } \) Gl. 39
Beachte!
Die Winkelfunktionen (cos, sin, tan, cot) sind zyklische Funktionen. D.h. ausgehend von einem beliebigen Winkel zuzüglich ganzzahliger Vielfacher von π ergibt sich stets der gleiche Funktionswert. Diese Vielfachheit ist stets bei den Argumenten der Winkelfunktionen zu berücksichtigen.
\( \arg \left( {\underline z } \right) = \phi + m \cdot 2\pi ; \quad m \in Z \) Gl. 40
Meist wird vereinfachend mit dem Hauptwert m=0 gerechnet. Diese Einschränkung ist aber nicht immer richtig, wie die zwei folgenden Anwendungen zeigen.