Das Rechnen mit komplexen Zahlen gleicht in vielem der Vektorrechnung. Dabei bietet die Vielfalt der verschiedenen Darstellungsformen komplexer Zahlen genügend Raum zur Optimierung der Rechenoperation. So werden Addition und Subtraktion in der Summendarstellung, Multipikation und Division sowie weitere höre Operationen eher in der Potenzdarstellung ausgeführt.
Addition und Subtraktion:
\( \begin{array}{l} \underline { z_1 } \pm \underline { {z_2} } & = \Re e\left( {\underline { {z_1} } } \right) \pm \Re e\left( {\underline { {z_2} } } \right) + i · \left( {\Im m\left( {\underline { {z_1} } } \right) \pm \Im m\left( {\underline { {z_2} } } \right)} \right) \\ & = {x_1} \pm {x_2}\, + \,i \cdot \left( { {y_1} \pm {y_2} } \right) \end{array} \) Gl. 41
Realteil und Imaginärteil werden getrennt addiert/subtrahiert.
Multiplikation:
a) mit einer Konstanten
\( a \cdot \underline z = a \cdot x + i \cdot a \cdot y \) (gleiches gilt für Division durch eine Konstante) Gl. 42
b) mit einer komplexen Zahl
\( \underline { {z_1} } \cdot \underline { {z_2} } = {x_1} \cdot {x_2} - {y_1} \cdot {y_2} + i \cdot \left( { {x_1} \cdot {y_2} + {x_2} \cdot {y_1} } \right) \) Gl. 43
c) Sonderfall: Multiplikation mit der konjugiert komplexen selbst liefert den Betrag der komplexen Zahl
\( \underline z \cdot {\underline z ^ * } = {x^2} + {y^2} + i \cdot \left( {x \cdot y - x \cdot y} \right) = {x^2} + {y^2} = {\left| {\underline z } \right|^2} \) Gl. 44
Division:
Durch eine komplexe Zahl
\( \frac{ {\underline { {z_1} } } }{ {\underline { {z_2} } } } = \frac{ { {x_1} + i \cdot {y_1} } }{ { {x_2} + i \cdot {y_2} } } \) Gl. 45
Erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner und getrenntes Multiplizieren von Zähler und Nenner:
\( \frac{ {\underline { {z_1} } } }{ {\underline { {z_2} } } } = \frac{ { {x_1} + i \cdot {y_1} } }{ { {x_2} + i \cdot {y_2} } } \cdot \frac{ { {x_2} - i \cdot {y_2} } }{ { {x_2} - i \cdot {y_2} } } = \frac{ { {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2} + i \cdot \left( { - {x_1} \cdot {y_2} + {x_2} \cdot {y_1} } \right)} }{ { {x_2}^2 + {y_2}^2} } \) Gl. 46
Es gelten das Kommutativ-, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz:
Kommutativgesetz:
a + b = b + a
a · b = b · a
Assoziativgesetz:
(a + b)+ c = a + (b + c)
(a · b)· c = a · (b · c)
Distributivgesetz:
a ·(b + c) = a·b + a·c