Mit
\( \underline z = \left| {\underline z } \right| \cdot {e^{i \cdot \left( {\phi + m \cdot 2\pi } \right)} }; \quad m \in Z \) Gl. 50
konnte Leonard EULER leicht nachweisen, dass
\( \ln \left( {\underline z } \right) = \ln \left( {\left| {\underline z } \right|} \right) + i \cdot (\phi \pm 2m\pi ) \) Gl. 51
So konnte EULER die oben angeführte Kontroverse klären. In der Auseinandersetzung der Herren Bernoulli und Leibniz sind die folgenden Fälle von Interesse:
\( \begin{array}{l} (1) \quad \underline{z} = 1 & \quad \Rightarrow \quad 1 · e^{ i(0, \pm 2π, \pm 4π, ...) } \\ (2) \quad \underline{z} = -1 & \quad \Rightarrow \quad 1 · e^{ i(0, \pm 3π, \pm 5π, ...) } \\ (3) \quad \underline{z} = \pm 1 & \quad \Rightarrow \quad 1 · e^{ i(\pm \frac{1}{2}π, \pm \frac{3}{2}π, \pm \frac{5}{2}π, ...) } \end{array} \)
Logarithmieren nach Gl. 51 ergibt:
\( \begin{array}{l} (1) \quad \log(1) & = i·(0, ±2π, ±4π, ...) \\ (2) \quad \log(-1) & = i·(p, ±3π, ±5π, ...) \\ (3) \quad \log(±i) & = i·( ±\frac{1}{2}π, ±\frac{3}{2}π, ±\frac{5}{2}π, ...) \end{array} \)
womit widerspruchsfrei das Wesen des Logarithmus sowohl für negative als auch für imaginäre Zahlen geklärt worden ist.
Für beliebige Logarithmen gilt:
\( \log \left( {\underline z } \right) = \log \left( {\left| {\underline z } \right|} \right) + i \cdot (\phi \pm m \cdot 2\pi ) \cdot \log (e); \quad m \in Z \) Gl. 52