Um eine beliebige Wurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen, wird auf die Darstellung komplexer Zahlen in der Eulerschen Form zurück gegriffen. Wenn:
\( \underline z = \left| {\underline z } \right| \cdot {e^{i \cdot \left( {\phi + m \cdot 2\pi } \right)} }; \quad m \in Z \) Gl. 47
Dann ist
\( \sqrt[n]{ {\underline z } } = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z } \right|} } \cdot \sqrt[n]{ { {e^{i \cdot (\phi + m \cdot 2\pi )} } } } = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z } \right|} } \cdot {e^{i \cdot \frac{ {\left( {\phi + m \cdot 2\pi } \right)} }{n} } } = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z } \right|} } \cdot {e^{i \cdot \left( {\frac{\phi }{n} + 2\pi \cdot \frac{m}{n} } \right)} } \) Gl. 48
Potenzieren und Radizieren:
Unter Anwendung von Gl. 39 gilt für beliebige Exponenten n∈ℝ
\( {\left( {\underline z } \right)^n} = {\left( {x + iy} \right)^n} = {\left| {\underline z } \right|^n} \cdot {e^{i \cdot n \cdot \phi } } = {\left| {\underline z } \right|^n} \cdot \left( {\cos \left( {n \cdot \phi } \right) + i \cdot \sin \left( {n \cdot \phi } \right)} \right) \) Gl. 49
Dieser Satz ist auch als Moivresche Satz (Abraham MOIVRE, 1667-1754) bekannt.
Wie bekannt, gibt es für eine n-te Wurzel auch n Werte (Fundamentalsatz der Algebra), dies kommt hier durch die verschiedenen Argumente zum Ausdruck.
Beispiel:
Gesucht ist die dritte Wurzel aus 8.
\( \underline z = 8 \cdot {e^{i \cdot \left( {0 + m \cdot 2\pi } \right)} }; \quad m \in Z \)
Radizieren ergibt:
\( \sqrt[3]{ {\underline z } } = 2 \cdot {e^{i \cdot \frac{ {\left( {0 + m \cdot 2\pi } \right)} }{3} } }; \quad m \in Z\)
damit ergeben sich drei Wurzeln:
\(\begin{array}{l} 1. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {0 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right) + i \cdot \sin \left( {0 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right)} \right) = 2 \\ 2. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {1 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right) + i \cdot \sin \left( {1 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right)} \right) = - 1 + i \cdot {\rm{1} }{\rm{,7321} } \\ 3. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {2 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right) + i \cdot \sin \left( {2 \cdot \frac{2}{3}\pi } \right)} \right) = - 1 - i \cdot {\rm{1} }{\rm{,7321} } \end{array}\)
alle weiteren Vielfachheiten sind identisch mit den drei genannten Werten!
