Eigenschaften von Exponentialfunktionen

1. Besondere Punkte

Werte an der Stelle 0:

Der y-Wert an der Stelle x = 0 ist stets y = 1. Der Grund hierfür:

f(x) = a^x | x = 0
f(0) = a⁰
f(0) = 1

Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit ist der Punkt S(0|1) für jede Exponentialfunktion „gemeinsamer Punkt“. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer der Punkt S(0|1).

~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;1;zoom[[-2|3|-2|6]] ~plot~

Werte an der Stelle 1:

f(x) = a^x | x=1
f(1) = a¹
f(1) = a

Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit gilt Punkt P(1|a) für jede Exponentialfunktion. Wenn wir wissen wollen, welche Basis die Exponentialfunktion hat, können wir dies bei x = 1 tun.

~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;x=1;zoom[[-3|4|-5|6]] ~plot~

2. Definitionsbereich

Definitionsbereich: x ∈ R

Wertebereich: y kann nie negativ werden, da a^x bei a > 1 nie negativ wird. Auch wenn x negativ ist, zum Beispiel a^-4 erhalten wir einen positiven Wert mit \( \frac{1}{a^4} \).

3. Monotonie

Streng monoton steigend, wenn a > 1

~plot~ 2^x ~plot~

Streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1

~plot~ 0.5^x ~plot~

4. Symmetrie

Exponentialfunktionen sind nicht symmetrisch, weder zur x-Achse noch zur y-Achse.

Jedoch betrachten wir folgende Graphen: f(x) = 2^x und g(x) = (1/2)^x erkennen wir, dass diese Graphen symmetrisch zueinander sind bezüglich der y-Achse.

f(x) = a^x
g(x) = a^-x = \( \frac{1}{a^x} \)

g(-x) = a^-(-x) = a^x

Damit: f(x) = g(-x)

→ f(x) ist identisch zu g(-x).

→ f(x) ist symmetrisch zu g(x).

Das bedeutet eine Spiegelung an der y-Achse.

~plot~ 2^x;0.5^x ~plot~

5. Nullstellen

Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen.

~plot~ 0.2^x;2^x;3^x;5^x;zoom[[-3|4|-5|6]] ~plot~

6. Wachstum

Je größer x ist, desto größer ist y (sofern a > 1).

~plot~ 3^x;7^x ~plot~

7. Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion.

f(x) = a^x = y   | umkehren
f(y) = a^y = x
a^y = x   | log_a
log_a(a^y) = log_a(x)
y·log_a(a) = log_a(x)   | log_a(a) = 1
y·1 = log_a(x)
y = log_a(x)
f(x) = log_a(x) = y