Exponentielle Abnahme / Exponentieller Zerfall

Exponentialfunktionen können entweder monoton steigend oder monoton fallend sein. Sind sie monoton fallend, so beschreiben sie einen Abnahmeprozess.

Im Folgenden zwei Aufgaben hierzu, die uns zeigen, wie wir Exponentialfunktionen zur Lösung solcher Aufgaben verwenden können.

Beispielaufgabe: Abnahme der Lichtintensität

Die Lichtintensität nimmt bei klarem Wasser alle 6 m um die Hälfte ab. Nach wie vielen Metern ist die Lichtintensität auf ¹⁄₁₆ gesunken?

Lösung mit Vorüberlegungen:

1. Schritt: 100 % : 2 = 50 %
2. Schritt: 100 % : 2 : 2 = 25 %
3. Schritt: 100 % : 2 : 2 : 2 = 12,5 %
4. Schritt: 100 % : 2 : 2 : 2 : 2 = 6,25 %

Als Multiplikationen schreiben:

1. Schritt: \( 100 \% · \frac{1}{2} = 50 \% \)
2. Schritt: \( 100 \% · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = 25 \% \)
3. Schritt: \( 100 \% · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = 12,5 \% \)
4. Schritt: \( 100 \% · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = 6,25 \% \)

Die Brüche können wir nun als Potenzen schreiben:

1. Schritt: \( 100 \% · (\frac{1}{2})^1 = 50 \% \)
2. Schritt: \( 100 \% · (\frac{1}{2})^2 = 25 \% \)
3. Schritt: \( 100 \% · (\frac{1}{2})^3 = 12,5 \% \)
4. Schritt: \( 100 \% · (\frac{1}{2})^4 = 6,25 \% \)

Eine Exponentialfunktion lässt sich daraus aufstellen, wobei p die Lichtintensität sein soll:

x. Schritt: \( f(x) = 100 \% · (\frac{1}{2})^x = p \)

Die 100 % sind ja 1, damit brauchen wir sie nicht mitzuschreiben:

x. Schritt: \( f(x) = (\frac{1}{2})^x = p \)

Diese Exponentialfunktion können wir als Graph zeichnen und erkennen gut die exponentielle Abnahme:

~plot~ 0,5^x;zoom[[-0,5|7|-0,25|1,5]];hide ~plot~

Als nächstes überlegen wir, dass wir \( p = \frac{1}{16} \) haben wollen. Setzen wir den Wert ein und lösen die Gleichung:

\( f(x) = (\frac{1}{2})^x = p \quad | p = \frac{1}{16} \\ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{16} \\ \frac{1^x}{2^x} = \frac{1}{16} \\ \frac{2^x}{1^x} = \frac{16}{1} \\ 2^x = 16 \quad | \text{ abzulesen mit } x = 4 \\ x = 4 \)

Im 4. Schritt erreichen wir also die geforderte Lichtintensität \( p = \frac{1}{16} \). Je Schritt sind es 6 m, damit ergibt sich die gesuchte Tiefe h mit h = 4 · 6 m = 24 m.

Antwortsatz: Nach 24 m haben wir eine Lichtintensität von nur noch ¹⁄₁₆.

Beispielaufgabe: Abnahme der Temperatur

Ein Tee hat die Anfangstemperatur von 80 °C. Er wird in einer Kanne bei einer Außentemperatur von 0 °C aufbewahrt. Pro Stunde sinkt die Temperatur um 12 %. Gib eine Funktion an, die die Temperatur des Tees (in °C) nach der Zeit t (in Stunden) beschreibt.

Lösung mit Vorüberlegungen:

Gesucht ist eine Exponentialfunktion, die uns die Temperatur T berechnet, in Abhängigkeit von der eingesetzten Zeit t, also f(t) = … = T

Wenn wir 12 % abziehen, bleiben 100 % - 12 % = 88 % übrig.

Erinnern wir uns an die Prozentrechnung, dort hatten wir gelernt, dass wir einen Anteil berechnen (den Prozentwert), indem wir mit dem Prozentsatz multiplizieren. Das heißt, wenn wir 88 % haben wollen, müssen wir einfach x·88 % rechnen bzw. x·0,88. Wenn wir die Temperatur nach 1 Stunde haben wollen, müssen wir die Anfangstemperatur von 80 °C mit 88 % multiplizieren:

1. Stunde: 80 °C · 0,88 = 70,4 °C

Für die 2. Stunde sind wieder 12 % abzuziehen, dass heißt wir multiplizieren das Ergebnis von 70,4 °C mit 0,88. Bedenken wir, dass 80 °C · 0,88 = 70,4 °C ist, so können wir notieren:

1. Stunde: 80 °C · 0,88 = 70,4 °C
2. Stunde: 70,4 °C · 0,88 = 61,952 °C
bzw.
2. Stunde: 80 °C · 0,88 · 0,88 = 61,952 °C

Für jede Stunde wird wieder mit 0,88 multipliziert. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet demnach:

t. Stunde: f(t) = 80 °C · 0,88^x = T

Dies ist bereits die Lösung der Aufgabe.

Antwortsatz: Die Abnahme der Temperatur des Tees kann mit der Exponentialfunktion f(t) = 80 °C · 0,88^x = T beschrieben werden, wobei t die Stunden darstellt und T die resultierende Temperatur.

Wer möchte, kann diese Exponentialfunktion noch als Graph zeichnen, dann erkennt man sehr gut die exponentielle Abnahme:

~plot~ 80*0,88^x;zoom[[-2|40|-10|90]];hide ~plot~