Exponentielles Wachstum

Die Exponentialfunktionen eignen sich, um solche Wachstumsprozesse darzustellen.

Um das exponentielle Wachstum zu berechnen benötigen wir die Potenzgesetze und den Logarithmus (so wie wir es bei den Exponentialgleichungen gesehen hatten). Nachfolgend ein paar Beispiele:

Beispiel: Wachstum von Baktieren

Aufgabe: Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 1000 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wann haben sich die Bakterien verzehnfacht?

Vorüberlegung: Anzahl an Bakterien z

0. Stunde: z = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 2 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 2·2 = 4000
3. Stunde: z = 1000 · 2·2·2 = 8000

Lösung:

0. Stunde: z = 1000 · 2⁰ = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 2¹ = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 2² = 4000
x. Stunde: z = 1000 · 2^x = 10000

f(t) = 1000 · 2^t

2^t = 10   | Also nach wie viel Stunden t haben wir 10 Mal so viele Bakterien?

2^t = 10   | ln
ln(2^t) = ln(10)
t·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)
t = ln(10) / ln(2)
t = 3,322 h
t ≈ 3 h 20 min

3 h 20 min sind aufgerundet, damit wir mindestens 10 mal so viele Bakterien haben.

Antwort: In 3 Stunden 20 Minuten hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.

Beispiel: y = 10 bei f(x) = 2^x

Wann ist y = 10 bei f(x) = 2^x?

Lösung:

f(x) = 2^x = 10
2^x = 10

Nehmen wir den Logarithmus zur Lösung:

2^x = 10   | ln
ln(2^x) = ln(10)
x·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)
x = ln(10) : ln(2)
x ≈ 3,3219

Antwort: Bei x ≈ 3,3219 hat unsere Funktion den Wert y = 10.