Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Dadurch herrscht Symmetrie. Zudem sind die drei Winkel im Dreieck gleich groß.
Es gilt: a = b = c sowie α + β + γ.
Die Fläche wird mit A angegeben (nicht zu verwechseln mit dem Punkt A).
Die Flächenformel lautet: \( A = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } · a^2 \)
Oder alternativ wie bei allen Dreiecken: \( A = \frac{a·h}{2} \)
Herleitung der Flächenformel
Schauen wir uns an, wie man von \( A = \frac{a·h}{2} \) auf die Flächenformel \( A = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } · a^2 \) kommt.
Zuerst beschriften wir alle drei Seiten des Dreiecks mit a, da sie gleich lang sind (a = b = c):
Nun können wir eine Höhe h in unser Dreieck einzeichnen:
Die Fläche ergibt sich also aus beiden Hälften des Dreiecks. Wir benötigen nun die Formel für die Höhe h. Hierfür verwenden wir den Satz des Pythagoras wie folgt:
$$ h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 \\ h^2 = a^2 - (\frac{a^2}{2^2}) \\ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \\ h^2 = \frac{4}{4}·a^2 - \frac{1}{4}·a^2 \\ h^2 = \frac{4-1}{4}·a^2 \\ h^2 = \frac{3}{4}·a^2 \qquad | ~ \sqrt{~} \\ h = \sqrt{\frac{3}{4}} · \sqrt{a^2} \\ h = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{4} } · a \\ h = \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } · a $$
Die Höhe h ergibt sich also durch \( h = \frac{1}{2} · a · \sqrt{3} \)
Die Formel zur Berechnung dieser Rechtecksfläche lautet: \( A = \frac{1}{2} · a ·h \)
Setzen wir nun die Höhenformel in unsere Rechtecksformel ein und stellen um:
\( A = \frac{1}{2} · a ·h \qquad | ~ \textcolor{#00F}{ h = \frac{1}{2} · a · \sqrt{3} } \\ A = \frac{1}{2} · a · \textcolor{#00F}{ \frac{1}{2} · a · \sqrt{3} } \\ A = \frac {1}{2} · \frac{1}{2} · a^2 · \sqrt { 3 } \\ A = \frac {1}{4} · a^2 · \sqrt { 3 } \\ A = \frac { 1 · \sqrt { 3 } } { 4 } · a^2 \\ A = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } · a^2 \)
Und schon haben wir unsere Flächenformel für gleichseitige Dreiecke vorzuliegen: \( A = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } · a^2 \)