Berechnen wir im Folgenden eine Beispielaufgabe:
1·cos(2·x-90°) + 0,5
Anwendung der Lösungsformel für Nullstellen:
\( x = \frac{cos^{-1}(-d) - c}{b} \\ x = \frac{\cos^{-1}(-0,5) - (-90°)}{2} \\ x = \frac{120° + 90°}{2} \\ x_1 = 105° \)
Weitere Nullstelle mit Identität bestimmen:
Identität: cos(x) = cos(-x)
Nun haben wir nicht nur x, sondern 2·x-90°:
cos(2·x-90°) = cos(-(2·x-90°))
cos(2·x-90°) = cos(-2·x + 90°) | x1 = 105°
cos(2·105° - 90°) = cos(-2·105° + 90°)
cos(120°) = cos(-120°)
Um auf x = -120° zu kommen, rechnen wir:
cos(2·x-90°) = cos(-120°)
2·x-90° = -120° | +90°
2·x = -30° | :2
x2 = -15°
Betrachten wir die Gleichung als Funktionsgraph, um die Lösungen anhand der Nullstellen des Graphen zu erkennen:
Die zweite Nullstelle ist bei x = -15°.
Die Periode ist \( T = \frac{360°}{2} = 180° \), Perioditätssummand damit k·180°. Das heißt wir addieren auf -15° die 180° herauf und kommen auf 165°. Dies ist eine weitere Nullstelle.
Allgemein notieren wir die Lösung also als:
x1 = 105° + k·180°
x2 = -15° + k·180°
bzw.
x2 = 165° + k·180° (hier haben wir auf die -15° die 180° heraufaddiert)
Hier noch einmal der Graph der Funktionsgleichung:
~plot~ cos(2*x*pi/180-90*pi/180) + 0.5;{105|0};{-15|0};[[-400|400|-1.2|2]];hide ~plot~