Lösung von sin(x) = 0,5 per Identität

Versuchen wir also als nächstes folgende trigonometrische Gleichung zu lösen:

sin(x) = 0,5

Vorgehensweise: Zuerst der Blick zum Einheitskreis: Wann hat Sinus den Wert 0,5?

y = 0,5 wird erreicht bei 30° sowie bei 150°. Dass das der gleiche Wert ist, hatten wir schon bei den Identitäten (siehe auch Programm „Identitäten für Sinus und Kosinus“) gesehen, mit denen wir auf Winkel mit gleichen Sinuswerten kommen.

Berechnen wir nun die Werte für x, statt sie abzulesen.

sin(x) = 0,5
sin(x) = 0,5 | sin^-1()
sin^-1( sin(x) ) = sin^-1(0,5)
x₁ = 30°

Nun nehmen wir die folgende Identität zu Hilfe und formen sie mit Hilfe vom Arkussinus um, sodass wir die zweite Lösung erhalten:

sin(x) = sin(180°-x)
sin(x) = 0,5
sin(180°-x) = 0,5 | sin^-1()
180°-x = sin(-1)(0,5)
180°-x = 30° | -180°
-x = -150° | ·(-1)
x₂ = 150°

Lösung im beschränkten Intervall

Die Lösung beschreibt sich also mit:

Gleichung: sin(x) = 0,5

Lösung: x₁ = 30°, x₂ = 150° im Intervall [0°, 360°]

Lösungen mit unbeschränktem Intervall

Bei einem unbeschränkten Intervall ]-∞, ∞[ müssen wir unsere Lösungen wie folgt ergänzen:

x₁ = 30° + k · 360°

x₂ = 150° + k · 360°

Den Term k · 360° (die Variable k muss eine ganze Zahl sein) nennt man „Periodizitätssummand“. Summand, weil wir ihn auf die Lösung addieren und er aus der Periode des Kreises bzw. der Sinusschwingung entsteht.

Die Lösungen können wir uns nun im Koordinatensystem betrachten:

Mit Einteilung als Bogenmaß würden wir folgende Lösungen haben inklusive Graphen:

x₁ = 30° + k · 360°
x₁ = 30°/180° π + k · 360°/180° π
x₁ = 1/6 π + k · 2π

x₂ = 150° + k · 360°
x₂ = 150°/180° π + k · 360°/180° π
x₂ = 5/6 π + k · 2π