Lösen wir eine Kosinusgleichung:
cos(x) = -0,5
Wir wollen den Winkel finden, der den Kosinuswert -0,5 hat. Schauen wir zuerst wieder am Einheitskreis:
Auf der x-Achse des Einheitskreises ist links x = -0,5 zu finden, dies ist beim Winkel 120° der Fall. Verwenden wir den Arkuskosinus, um dies zu berechnen:
cos(x) = -0,5 | cos-1()
cos-1(cos(x)) = cos-1(-0,5)
x1 = 120°
Fragt sich, ob es noch weitere Werte als Lösungen gibt. Hierfür müssen wir das Intervall kennen. Für das Intervall 0° bis 360° lohnt ein Blick auf den Einheitskreis:
Mit der Identität cos(x) = cos(-x) errechnen wir den zweiten Winkel.
cos(x) = cos(-x)
cos(120°) = cos(-120°) = 0,5
Jetzt wissen wir, dass diese Identität gilt: cos(x) = cos(360° + x) und wir setzen ein:
cos(x) = cos(360° + x) | x = -120°
cos(-120°) = cos(360° - 120°) = cos(240°)
x2 = 240°
Es gibt mehrere Wege, um auf diesen Wert zu kommen, je nachdem, welche Identitäten wir zur Hilfe nehmen.
Lösung: Im Intervall [0°, 360°] haben wir zwei Lösungen: x1 = 120° und x2 = 240°
Lösungen im unbeschränkten Interval
Liegt keine Einschränkung des Intervalls vor, dann müssen wir den Periodizitätssummanden heraufaddieren:
cos(x) = -0,5
x1 = 120° + k·360°
x2 = 240° + k·360°