Wir hatten bereits die linearen Funktionen kennengelernt und geklärt, wie f(x) = Formel mit x = y zu verstehen ist. Wir setzen für x einen Wert ein und die Formel berechnet den Wert für y.
Als Beispiel:
f(x) = 3·x + 2 = y
Wählen wir einen Wert mit x = 5 und setzen ihn in die Funktionsgleichung ein, so ergibt sich:
f(5) = 3·5 + 2 = 17
Damit können wir einen Punkt im Koordinatensystem bei P(5|17) zeichnen.
Machen wir in der Formel aus dem x ein x², so ergibt sich eine quadratische Funktion. Jeder x-Wert wird quadriert.
Zum Beispiel bei:
f(x) = x² = y
f(0) = 0² = 0
f(1) = 1² = 1
f(2) = 2² = 4
f(3) = 3² = 9
f(4) = 4² = 16
Diese x-y-Werte können wir als Punkte ins Koordinatensystem zeichnen, so ergibt sich:
Machen wir das für sehr viele Punkte (auch für negative x-Werte) und verbinden alle Punkte miteinander, so ergibt sich folgender Graph:
Dies ist der Graph der quadratischen Funktion f(x) = x², den wir aufgrund der geschwungenen Form eine „Parabel“ nennen.
Allgemein definieren wir eine quadratische Funktion wie folgt:
Es handelt sich um eine „quadratische Funktion“, wenn die höchste Potenz der Variablen in der Funktionsgleichung 2 ist (also x²).
Parabel
Wir nennen den Graphen einer quadratischen Funktionen „Parabel“. Das Wort kommt vom Lateinischen „parabola“, was „Gleichnis“ bedeutet. Eine Parabel ist achsensymmetrisch, also sozusagen an der y-Achse gespiegelt, daher stammt wahrscheinlich der Begriff.
Parabeln sehen je nach Funktionsgleichung unterschiedlich aus. Im Folgenden eine Parabel, bei der man die drei Punkte verschieben kann, dadurch verändert sich die Form der Parabel und die Funktionsgleichung.
Verschiebe die Punkte und schau, wie sich die Parabel verändern kann:
Die Parabel von f(x) = x² wird „Normalparabel“ genannt, da sie unverändert ist (also keine Verschiebung oder Streckung/Stauchung vorliegt).
Schauen wir uns die Normalparabel im nächsten Kapitel an und danach die Allgemeinform einer quadratischen Funktion.