Bei einer Subtraktion von zwei natürlichen Zahlen kann es dazu kommen, dass sich eine Zahl als Lösung ergibt, die kleiner als 0 ist:
3 - 1 = 2 ← positive Zahl (+)
3 - 2 = 1 ← positive Zahl (+)
3 - 3 = 0
3 - 4 = -1 ← negative Zahl (-)
3 - 5 = -2 ← negative Zahl (-)
…
Wir sehen, dass sich eine negative Zahl ergibt, wenn der Subtrahend größer ist als der Minuend.
Zur Erinnerung: Der Subtrahend ist die Zahl, die wir abziehen.
Zum Beispiel erhalten wir bei 4 - 9 als Ergebnis -5. Dies ist eine negative ganze Zahl.
Diese Zahl gehört nicht zu den natürlichen Zahlen, da natürliche Zahlen immer positiv sind.
Daher führen wir eine neue Zahlenmenge ein, die wir die ganzen Zahlen nennen.
Die ganzen Zahlen werden notwendig, da mit den natürlichen Zahlen keine negativen Werte dargestellt werden können.
Negative Werte (also Werte kleiner als 0) werden im Alltag benötigt bei zum Beispiel:
- Temperaturen
- Kontoständen
- Höhenangaben
- Preisnachlässe
- Zeitunterschiede
Das Wort „negativ“ bedeutet hier übrigens „Gegenteil“ (und zwar das Gegenteil von den positiven Zahlen).
Die ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen und deren Umkehrung (inklusive der Zahl Null). „Umkehrung“ meint, dass alle natürlichen Zahlen ein Minus (negatives Vorzeichen) erhalten.
Das Formelzeichen der ganzen Zahlen ist ℤ und die Menge wird aufgeschrieben als:
ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Die Aufzählung der Zahlen kann in beide Richtungen beliebig lange fortgesetzt werden. Jede ganze Zahl hat immer einen Vorgänger (mit -1) und einen Nachfolger (mit +1). Es gibt damit unendlich viele ganze Zahlen.
Wenn wir die Vorgänger betrachten, gehen wir Richtung minus unendlich (-∞). Wenn wir die Nachfolger betrachten, gehen wir Richtung plus unendlich (+∞).
Die natürlichen Zahlen gelten als Teilmenge der ganzen Zahlen, wir schreiben ℕ ⊂ ℤ.
Mengenschreibweise
Wir verwenden das Zeichen ∈, um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen, und das Zeichen ∉, um auszudrücken, dass das Element nicht zu einer Menge gehört. Beispiele:
5 ∈ ℤ („5 ist Element der ganzen Zahlen“)
-77 ∈ ℤ („-77 ist Element der ganzen Zahlen“)
0,5 ∉ ℤ („0,5 ist nicht Element der ganzen Zahlen“)
Es gibt weitere Zahlenbereiche, die u. a. eine Division erlauben, bei der ein Rest übrig bleibt. Vergleiche hierzu rationale Zahlen.
Zum Weiterlesen: