Betrachten wir uns die Wurzelgleichung:
\( 1+x = \sqrt { 4 - x } \)
Wir lösen diese Wurzelgleichung, wie bereits kennengelernt durch Quadrieren beider Seiten:
\( 1+x = \sqrt { 4 - x } \qquad |{ () }^{ 2 } \\ { (1+x) }^{ 2 } = { (\sqrt { 4 - x } ) }^{ 2 } \)
Auf der linken Seite wenden wir nun die binomische Formel an:
\( 1 + 2·x + { x }^{ 2 }= { 4 - x } \)
Wir bringen die rechte Seite auf die linke Seite und ändern anschließend die Reihenfolge der Summanden:
\( 1 + 2·x + { x }^{ 2 } = { 4 - x } \qquad |-(4-x) \\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } - 4 + x = 0 \\ { x }^{ 2 } + 3·x - 3 = 0 \)
Jetzt sehen wir, dass wir die p-q-Formel anwenden können mit p = 3 und q = -3.
\( { x }_{ 1,2 } = -\frac { 3 }{ 2 } \pm \sqrt { ({ \frac { 3 }{ 2 } ) }^{ 2 } - (-3) } \\ { x }_{ 1,2 } = -\frac{ 3 }{ 2 } \pm \sqrt { 5,25 } \)
Wir nehmen jetzt den Taschenrechner zur Hilfe, um die Wurzel zu berechnen und erhalten:
\( { x }_{ 1 } \approx 0,791 \\ { x }_{ 2 } \approx -3,791 \)
Machen wir mit beiden eventuellen Lösungen jetzt die Probe (auch hier müssen wir den Taschenrechner benutzen):
\( 1 + x = \sqrt { 4 - x } \qquad | x = 0,791 \\ 1 + 0,791 = \sqrt { 4 - 0,791 } \\ 1,791 = \sqrt { 3,209 } \\ 1,791 = 1,791 \)
x1 = 0,791 ist also eine korrekte Lösung der Gleichung.
Anmerkung: Eigentlich hätten wir hier mit dem nicht gerundeten Wert rechnen müssen, also einsetzen von x1 = (-3/2 + √5,25), da die √3,209 nicht exakt 1,791 ergibt. Der Einfachheit halber haben wir oben jedoch den gerundeten Wert gewählt.
Jetzt fehlt noch die Probe mit der zweiten Lösung x2 = -3,791:
\( 1 - 3,791 = \sqrt { 4 + 3,791 } \\ -2,791 = \sqrt { 7,791 } \\ -2,791 \neq 2,791 \)
Wir sehen, dass unsere zweite angebliche Lösung die Gleichung nicht löst.
Als Lösung haben wir also nur x1 = 0,791.