Einführung Komplexe Zahlen ℂ
Der Körper der Reellen Zahlen ist nicht in sich abgeschlossen. Denn die mathematischen Operation des Radizierens liefert u.U. Zahlen, die nicht in der Menge der Reellen Zahlen enthalten sind. Die Einführung Komplexer Zahlen ist somit eine logische Konsequenz aus der Forderung, die der Fundamentalsatz der Algebra stellt: nämlich, dass jedes Polynom N-ten Grades auch N Nullstellen haben muss. Wie bekannt ist, gibt es Polynome, die nicht nur reelle Nullstellen aufweisen, sondern auf ein Problem der Art \( {x_{1,2} } = a \pm b \cdot \sqrt { - 1} \) führen. Die Lösung für den negativen Wurzelausdruck führt auf die Definition der Imaginären Zahlen und deren Kombination mit einer Reellen Zahl auf die der Komplexen Zahlen.
Definition und Eigenschaften
Wurzeln aus negativen Zahlen führen nicht zu einem reellen Ergebnis, da es keine Reelle negative Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert ein negatives Produkt liefert. Dieses Defizit ist nur durch eine Erweiterung des Reellen Zahlenraumes um den Raum der Imaginären Zahlen zu beseitigen. Es wird definiert:
\( \sqrt{-1} = i \) Gl. 28
Mit der imaginären Einheit i*) können nunmehr Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden. Das Ergebnis ist eine imaginäre Zahl.
Beispiel
\( \sqrt { - 9} = \sqrt { - 1} \cdot \sqrt 9 = i \cdot 3 \)
Unter Verwendung Reeller und Imaginärer Zahlen werden die komplexen Zahlen definiert
\( \underline{z} = x + iy \) Gl. 29
*) In anderen Fachbereichen, z.B. der Elektrotechnik, wird das Symbol j als Kennzeichnung der imaginäre Einheit verwendet.
Die komplexe Zahl z besteht aus der Summe eines Realteils \( x = \Re e(\underline{z}) \) und eines Imaginärteils \( iy = i \Im m(\underline{z}) \)
Zwei komplexe Zahlen sind nur dann einander gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile einander gleich sind.
\( \begin{aligned} \underline{z_1} = \underline{z_2} \quad ⇒ \quad & \Re e( \underline{z_1} ) = \Re e( \underline{z_2} ) \\ & \Im m( \underline{z_1} ) = \Im m( \underline{z_2} ) \end{aligned} \)
Bei mathematischen Operationen werden Real- und Imaginärteil stets getrennt behandelt. Es gelten dann die selben Regeln wie für das Rechnen mit reellen Zahlen.
Werden Nullstellen von Polynomen ermittelt, treten diese unter bestimmten Umständen als komplexe Zahlen auf. Dann aber treten sie stets paarweise konjugiert komplex z, z* auf:
\( \underline z = x \pm iy; \qquad \underline z * = x \mp iy; \) Gl. 30
Konjugiert komplexe Zahlen sind betragsgleich und unterscheiden sich nur im Vorzeichen ihrer Imaginärteile.
Der bekannte Wurzelsatz von Vieta (eigentlich Francois Viete, 1540 – 1603) liefert für quadratische Polynome
\( {x^2} + px + q = 0 \) Gl. 31
stets zwei Werte für die Nullstellen (oder Wurzeln wie man auch sagt):
\( {x_{1,2} } = - \frac{p}{2} \pm \sqrt { { {\left( {\frac{p}{2} } \right)}^2} - q} \) wenn \( q > \left(\frac{p}{2}\right)^2 \) Gl. 32
ist das Ergebnis nicht real
\( {x_{1,2} } = - \frac{p}{2} \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt {q - { {\left( {\frac{p}{2} } \right)}^2} } = - \frac{p}{2} \pm i \cdot \sqrt {q - { {\left( {\frac{p}{2} } \right)}^2} } \) Gl. 33
sondern konjugiert komplex!
Beispiel
Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms
\({x^2} + 2x + 5 = 0\)
Wurzelsatz von Vieta:
\({x_{1,2} } = - \frac{2}{2} \pm \sqrt { {1^2} - 5} \)
\({x_{1,2} } = - 1 \pm i \cdot \sqrt {5 - 1} = - 1 \pm i \cdot 2\)
Etwas Geschichte
Die Gelehrten Johann BERNOULLI (1667-1748) und Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 - 1716) führten eine kontroverse Korrespondenz über den Wert des Logarithmus von negativen und imaginären Zahlen. Während Bernoulli verkürzt behauptete, dass log(-1) = 0 sei, weil u.a. 2·log(-1) = log(-1)² = log(+1) = 0 ist.
Hingegen vertrat Leibniz die Ansicht, dass der Logarithmus von –1 imaginär sei, weil es keinen reellen Exponenten gibt, der zur Potenz einer beliebigen Basis erhoben, ein negatives Resultat haben kann. Beide Ansichten waren anfechtbar und führten zu der erwähnten Kontroverse.
Diesen Streit konnte Leonhard EULER (1707-1783) mit der konsequenten Anwendung der komplexen Zahlen entscheiden.