Rechner: Ebenengleichungen umformen in Koordinatenform, Parameterform, Normalenform

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Online-Rechner für Ebenengleichungen (Koordinatenform, Parameterform, Normalenform). Alle Rechenwege findet ihr unten ausführlich dargestellt.

Gib die Werte ein und die Lösung wird sofort angezeigt.

Gegebene drei Punkte/Vektoren:

A:
B:
C:

Gleichung in Koordinatenform:

E: ·x + ·y + ·z =

Gleichung in Parameterform:

= + s · + t ·

$$ \text{E:} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0,25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0,25 \end{pmatrix} $$

Gleichung in Normalenform:

– o = 0

E: [ ]

$$ \text{E:} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = 0 $$

Spurpunkte (Achsenschnittpunkte):

Übersicht Gleichungsformen der Ebenen

Koordinatenform: $ E:a_1 \cdot x + a_2 \cdot y + a_3 \cdot z = c $

Parameterform: $ E:\vec x=\vec a + s \cdot \vec b + t \cdot \vec c $

Normalenform: $ E: \left[\vec x-\vec a\right] \circ \vec n = 0 $

Rechenwege zu Ebenengleichungen

Hier seht ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen von Ebenengleichungen:

1. Drei Punkte gegeben

Zuerst berechnen wir die Parameterform aus den Koordinaten der Punkte:

Gegebene Punkte:

A = (0 | 2 | -1)
B = (6 | -5 | 0)
C = (1 | 0 | 1)

Parameterform:

X = A + s · AB + t · AC
X = (0 | 2 | -1) + s · (6 - 0 | -5 - 2 | 0 - (-1)) + t · (1 - 0 | 0 - 2 | 1 - (-1))
X = (0 | 2 | -1) + s · (6 | -7 | 1) + t · (1 | -2 | 2)
(x | y | z) = (0 | 2 | -1) + s · (6 | -7 | 1) + t · (1 | -2 | 2)

Als nächstes können wir aus den Vektoren AB und AC den Normalenvektor N (steht senkrecht auf Ebene) berechnen und kommen so auf die Normalenform:

Normalenvektor via Kreuzprodukt bestimmen:

N = AB ⨯ AC
N = (6 | -7 | 1) ⨯ (1 | -2 | 2)
N = y_AB·z_AC - z_AB·y_AC | z_AB·x_AC - x_AB·z_AC | x_AB·y_AC - y_AB·x_AC
N = (-7)·2 - 1·(-2) | 1·1 - 6·2 | 6·(-2) - (-7)·1
N = (-12 | -11 | -5)

Normalenform:

(X - A) · N = 0
(X - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0

Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir nun noch die Koordinatenform aufstellen:

Koordinatenform:

X · N = A · N
X · (-12 | -11 | -5) = (0 | 2 | -1) · (-12 | -11 | -5) | rechts das Skalarprodukt berechnen
(x | y | z) · (-12 | -11 | -5) = 0*(-12) + 2*(-11) + (-1)*(-5)
(-12)·x + (-11)·y + (-5)·z = -17

2. Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform

Ist uns die Ebenengleichung in Koordinatenform gegeben, so können wir mit folgenden Schritten die Parameterform bestimmen:

Gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform:

1·x - 1·y + 4·z = -4

Stellen wir die Gleichung zuerst nach z um:

1·x - 1·y + 4·z = -4
4·z = -4 + 1·x + 1·y
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y

Rechenweg Variante A: Über 3 beliebige Punkte

Diese Gleichung können wir nun verwenden, um die einzelnen Vektoren für die Ebenengleichung aufzustellen (oder Parameter direkt ablesen). Die Punkte können beliebig gewählt werden, wir wählen der einfacheren Rechnung wegen A(0|0|z), B(1|0|z) und C(0|1|z):

Bestimmen eines Punkt A:
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (0|0|z), einsetzen von x=0 y=0
z = -1 + (-0,25)·0 + 0,25·0
z = -1
→ A(0|0|-1)

Bestimmen eines weiteren Punktes B (1|0|z):
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (1|0|z), einsetzen von x=1 y=0
z = -1 + (-0,25)·1 + 0,25·0
z = -1,25
→ B(1|0|-1,25)

Bestimmen eines weiteren Punktes C (0|1|z):
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (0|1|z), einsetzen von x=0 y=1
z = -1 + (-0,25)·0 + 0,25·1
z = -0,75
→ C(0|1|-0,75)

Ebenengleichung in Parameterform
mit Hilfe von Vektor A und Differenzvektoren AB und AC aufstellen:
X = A + s · AB + t · AC
X = (0 | 0 | -1) + s · (1-0 | 0-0 | -1,25-(-1)) + t · (0-0 | 1-0 | -0,75-(-1))
(x | y | z) = (0 | 0 | -1) + s · (1 | 0 | -0,25) + t · (0 | 1 | 0,25)

Rechenweg Variante B: Über die 3 Spurpunkte

Ein anderer Rechenweg ist, die Spurpunkte (Achsenabschnitte der Ebene) zu bestimmen. Hierzu verwenden wir die gegebene Koordinatenform:

1·x - 1·y + 4·z = -4

Und setzen jeweils für x=0, y=0 und z=0 wie folgt in die Ebenengleichung ein:

1·x - 1·y + 4·z = -4 | S_x(x|0|0)
1·x - 1·0 + 4·0 = -4
x = -4
→ S_x(-4|0|0)

1·x - 1·y + 4·z = -4 | S_y(0|y|0)
1·0 - 1·y + 4·0 = -4
y = 4
→ S_y(0|4|0)

1·x - 1·y + 4·z = -4 | S_z(0|0|z)
1·0 - 1·0 + 4·z = -4
z = -1
→ S_z(0|0|-1)

Ebenengleichung in Parameterform
mit Hilfe der drei Spurpunkte lässt sich nun die Parameterform berechnen:
X = S_x + s · S_xS_y + t · S_xS_z
X = (-4 | 0 | 0) + s · (0-(-4) | 4-0 | 0-0) + t · (0-(-4) | 0-0 | -1-0)
(x | y | z) = (-4 | 0 | 0) + s · (4 | 4 | 0) + t · (4 | 0 | -1)

3. Umwandlung von Koordinatenform in Normalenform

Ein Weg ist, die Koordinatenform in die Parameterform zu bringen (siehe zuvor) und dort die Normalenform zu berechnen.

Ein anderer Weg:

Gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform:

1·x - 1·y + 4·z = -4

Normalenvektor aus Koordinatenform ablesen:

Hierzu einfach die Koeffizienten vor x, y und z übernehmen (den konstanten Wert ignorieren):
N = (1 | -1 | 4)

Achtung, die Koordinatengleichung kann durch Äquivalenzumformungen auch eine andere Gestalt haben. Somit ergibt sich ein Normalenvektor mit äquivalenten Werten, zum Beispiel:

1·x - 1·y + 4·z = -4 | :4
0,25·x - 0,25·y + 1·z = -1 | Koeffizienten vor x, y und z übernehmen
N = (0,25 | -0,25 | 1)

Punkt auf Ebene bestimmen

Es muss ein Punkt sein, dessen x-, y- und z-Komponenten die Koordinatengleichung erfüllen. Legen wir zwei Werte für x und y fest und bestimmen den sich ergebenden Wert für z, alle 3 Komponenten ergeben dann die Koordinaten unseres Punktes A. Wählen wir der Einfachheit halber x=0 und y=0 (wir könnten auch andere Werte verwenden):

1·x - 1·y + 4·z = -4 | x=0 und y=0
1·0 - 1·0 + 4·z = -4
4·z = -4
z = -1
→ A(0|0|-1) liegt auf der Ebene

Normalenform aufstellen:

(X - A) · N = 0
(X - (0 | 0 | -1)) · (1 | -1 | 4) = 0
((x | y | z) - (0 | 0 | -1)) · (1 | -1 | 4) = 0

Oder mit dem oben ermittelten, äquivalenten Normalenvektor:
(X - A) · N = 0
(X - (0 | 0 | -1)) · (0,25 | -0,25 | 1) = 0
((x | y | z) - (0 | 0 | -1)) · (0,25 | -0,25 | 1) = 0

4. Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform

Der Rechenweg gleicht dem bei 1. Drei Punkte gegeben aufgezeigten, nur dass hier die Parameterform bereits vorliegt.

Gegebene Parameterform:

X = (x | y | z) = (0 | 2 | -1) + s · (6 | -7 | 1) + t · (1 | -2 | 2) X = (x | y | z) = A + s · AB + t · AC

Wir können ablesen:
A = (0 | 2 | -1)
AB = (6 | -7 | 1)
AC = (1 | -2 | 2)

Punkte B und C bestimmen (optional):

B = AB + A
B = (6 | -7 | 1) + (0 | 2 | -1)
B = (6 | -5 | 0)
C = AC + A
C = (1 | -2 | 2) + (0 | 2 | -1)
C = (1 | 0 | 1)

Als erstes berechnen wir aus den Vektoren AB und AC den Normalenvektor N, damit wir auf die Normalenform gelangen:

Normalenvektor via Kreuzprodukt bestimmen:

Normalenform:

(X - A) · N = 0
(X - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0

Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir die Koordinatenform aufstellen:

Koordinatenform:

5. Umwandlung von Parameterform in Normalenform

Wie dies geht, haben wir bereits in dem Text zuvor geklärt, vergleiche 4. Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform.

6. Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform

Wie dies geht, haben wir bereits in dem Text zuvor geklärt, vergleiche 4. Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform. Hier noch einmal dargestellt:

Gegebene Normalenform:

((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
(X - A) · N = 0

Wir können ablesen:
A = (0 | 2 | -1)
N = (-12 | -11 | -5)

Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir die Koordinatenform aufstellen:

Koordinatenform:

X · N = A · N
X · (-12 | -11 | -5) = (0 | 2 | -1) · (-12 | -11 | -5) | rechts das Skalarprodukt berechnen
(x | y | z) · (-12 | -11 | -5) = 0*(-12) + 2*(-11) + (-1)*(-5)
(-12)·x + (-11)·y + (-5)·z = -17
bzw.
-12·x - 11·y - 5·z = -17

7. Umwandlung von Normalenform in Parameterform

Die Normalenform lautet (X - A) · N = 0 und die Koordinatenform lautet X · N = A · N. Die eine lässt sich in die andere überführen:

(X - A)·N = 0
X·N- A·N = 0
X·N = A·N

Gegebene Normalenform:

((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
(X - A) · N = 0

Wir können ablesen:
A = (0 | 2 | -1)
N = (-12 | -11 | -5)

Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir die Koordinatenform aufstellen:

Koordinatenform:

Von der Koordinatenform ausgehend können wir die Parameterform ermitteln. Wie das geht, haben wir bei 2. Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform kennengelernt.

Variante B: Über Richtungsvektoren

((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
(X - A) · N = 0

Abzulesen:
A = (0 | 2 | -1)
N = (-12 | -11 | -5)

Der Vektor A, im Übrigen auch Stützvektor genannt, ist also A(0 | 2 | -1). Nun brauchen wir noch zwei Richtungsvektoren.

Senkrecht zum Normalenvektor N(-12 | -11 | -5) sind zum Beispiel (0 | 5 | -11) oder (5 | 0 | -12) oder (11 | -12 | 0). Zur Erinnerung: Diese drei Vektoren sind senkrecht zueinander, weil das Skalarprodukt Null ergibt. Senkrecht zu (x | y | z) sind (0 | z | -y), (z | 0 | -x) und (y | -x | 0). Einfach gesagt: Um einen Normalenvektor zu erhalten, müssen wir eine Komponente auf 0 setzen, die anderen beiden vertauschen, wobei wir für einen der beiden Werte den Gegenwert bilden (Vorzeichenwechsel).

Mit Hilfe dieser drei Vektoren können wir direkt die Parameterform aufstellen:

X = A + s · AB + t · AC
X = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12)
(x | y | z) = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12)

Hinweis: Dieses Lösungsverfahren funktioniert nur, wenn beim Normalenvektor keine 0 gegeben ist. Wenn man eine Null gegeben hat, so sind senkrecht zu N(x | y | 0) die Vektoren (y | -x | 0) und (0 | 0 | 1). Wenn man sogar zwei Nullen als Komponenten gegeben hat, sind senkrecht zu N(x | 0 | 0) die Vektoren (0 | 1 | 0) und (0 | 0 | 1).

Was ist eine Normalenform?

Die Normalenform, Normalform oder Normalengleichung ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt. Eine Gerade oder Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene oder im Raum, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor steht. Die Normalenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.