Die Normalenform lautet (X - A) · N = 0 und die Koordinatenform lautet X · N = A · N. Die eine lässt sich in die andere überführen:
(X - A)·N = 0
X·N- A·N = 0
X·N = A·N
Gegebene Normalenform:
((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
(X - A) · N = 0
Wir können ablesen:
A = (0 | 2 | -1)
N = (-12 | -11 | -5)
Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir die Koordinatenform aufstellen:
Koordinatenform:
X · N = A · N
X · (-12 | -11 | -5) = (0 | 2 | -1) · (-12 | -11 | -5) | rechts das Skalarprodukt berechnen
(x | y | z) · (-12 | -11 | -5) = 0·(-12) + 2·(-11) + (-1)·(-5)
(-12)·x + (-11)·y + (-5)·z = -17
bzw.
-12·x - 11·y - 5·z = -17
Von der Koordinatenform ausgehend können wir die Parameterform ermitteln. Wie das geht, haben wir bei Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform kennengelernt.
Variante B: Über Richtungsvektoren
((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
(X - A) · N = 0
Abzulesen:
A = (0 | 2 | -1)
N = (-12 | -11 | -5)
Der Vektor A, im Übrigen auch Stützvektor genannt, ist also A(0|2|-1). Nun brauchen wir noch zwei Richtungsvektoren.
Senkrecht zum Normalenvektor N(-12|-11|-5) sind zum Beispiel (0|5|-11) oder (5|0|-12) oder (11|-12|0). Zur Erinnerung: Diese drei Vektoren sind senkrecht zueinander, weil das Skalarprodukt Null ergibt. Senkrecht zu (x | y | z) sind (0 | z | -y), (z | 0 | -x) und (y | -x | 0). Einfach gesagt: Um einen Normalenvektor zu erhalten, müssen wir eine Komponente auf 0 setzen, die anderen beiden vertauschen, wobei wir für einen der beiden Werte den Gegenwert bilden (Vorzeichenwechsel).
Mit Hilfe dieser drei Vektoren können wir direkt die Parameterform aufstellen:
X = A + s · AB + t · AC
X = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12)
(x | y | z) = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12)
Hinweis: Dieses Lösungsverfahren funktioniert nur, wenn beim Normalenvektor keine 0 gegeben ist. Wenn man eine Null gegeben hat, so sind senkrecht zu N(x | y | 0) die Vektoren (y | -x | 0) und (0 | 0 | 1). Wenn man sogar zwei Nullen als Komponenten gegeben hat, sind senkrecht zu N(x | 0 | 0) die Vektoren (0 | 1 | 0) und (0 | 0 | 1).