Der Rechenweg gleicht dem, den wir bei „Ebenengleichungen aus 3 Punkten aufstellen“ aufgezeigt haben, nur dass hier die Parameterform bereits vorliegt.
Gegebene Parameterform:
X = (x | y | z) = (0 | 2 | -1) + s · (6 | -7 | 1) + t · (1 | -2 | 2)
X = (x | y | z) = A + s · AB + t · AC
Wir können ablesen:
A = (0 | 2 | -1)
AB = (6 | -7 | 1)
AC = (1 | -2 | 2)
Punkte B und C bestimmen (optional):
B = AB + A
B = (6 | -7 | 1) + (0 | 2 | -1)
B = (6 | -5 | 0)
C = AC + A
C = (1 | -2 | 2) + (0 | 2 | -1)
C = (1 | 0 | 1)
Als erstes berechnen wir aus den Vektoren AB und AC den Normalenvektor N, damit wir auf die Normalenform gelangen:
Normalenvektor via Kreuzprodukt bestimmen:
N = AB ⨯ AC
N = (6 | -7 | 1) ⨯ (1 | -2 | 2)
N = y_AB·z_AC - z_AB·y_AC | z_AB·x_AC - x_AB·z_AC | x_AB·y_AC - y_AB·x_AC
N = (-7)·2 - 1·(-2) | 1·1 - 6·2 | 6·(-2) - (-7)·1
N = (-12 | -11 | -5)
Normalenform:
(X - A) · N = 0
(X - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir die Koordinatenform aufstellen:
Koordinatenform:
X · N = A · N
X · (-12 | -11 | -5) = (0 | 2 | -1) · (-12 | -11 | -5) | rechts das Skalarprodukt berechnen
(x | y | z) · (-12 | -11 | -5) = 0·(-12) + 2·(-11) + (-1)·(-5)
(-12)·x + (-11)·y + (-5)·z = -17