Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform

Ist uns die Ebenengleichung in Koordinatenform gegeben, so können wir mit folgenden Schritten die Parameterform bestimmen:

Gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform:

1·x - 1·y + 4·z = -4

Stellen wir die Gleichung zuerst nach z um:

1·x - 1·y + 4·z = -4
4·z = -4 + 1·x + 1·y
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y

Rechenweg Variante A: Über 3 beliebige Punkte

Diese Gleichung können wir nun verwenden, um die einzelnen Vektoren für die Ebenengleichung aufzustellen (oder Parameter direkt ablesen). Die Punkte können beliebig gewählt werden, wir wählen der einfacheren Rechnung wegen A(0|0|z), B(1|0|z) und C(0|1|z):

Bestimmen eines Punktes A:
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (0|0|z), einsetzen von x=0 y=0
z = -1 + (-0,25)·0 + 0,25·0
z = -1
→ A(0|0|-1)

Bestimmen eines weiteren Punktes B(1|0|z):
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (1|0|z), einsetzen von x=1 y=0
z = -1 + (-0,25)·1 + 0,25·0
z = -1,25
→ B(1|0|-1,25)

Bestimmen eines weiteren Punktes C(0|1|z):
z = -1 + (-0,25)·x + 0,25·y | berechne z für (0|1|z), einsetzen von x=0 y=1
z = -1 + (-0,25)·0 + 0,25·1
z = -0,75
→ C(0|1|-0,75)

Ebenengleichung in Parameterform
mit Hilfe von Vektor A und Differenzvektoren AB und AC aufstellen:

X = A + s · AB + t · AC
X = (0 | 0 | -1) + s · (1-0 | 0-0 | -1,25-(-1)) + t · (0-0 | 1-0 | -0,75-(-1))
(x | y | z) = (0 | 0 | -1) + s · (1 | 0 | -0,25) + t · (0 | 1 | 0,25)

Rechenweg Variante B: Über die 3 Spurpunkte

Ein anderer Rechenweg ist, die Spurpunkte (Achsenabschnitte der Ebene) zu bestimmen. Hierzu verwenden wir die gegebene Koordinatenform:

1·x - 1·y + 4·z = -4

Und setzen jeweils für x=0, y=0 und z=0 wie folgt in die Ebenengleichung ein:

1·x - 1·y + 4·z = -4 | S_x(x|0|0)
1·x - 1·0 + 4·0 = -4
x = -4
→ S_x(-4|0|0)

1·x - 1·y + 4·z = -4 | S_y(0|y|0)
1·0 - 1·y + 4·0 = -4
y = 4
→ S_y(0|4|0)

1·x - 1·y + 4·z = -4 | S_z(0|0|z)
1·0 - 1·0 + 4·z = -4
z = -1
→ S_z(0|0|-1)

Ebenengleichung in Parameterform
mit Hilfe der drei Spurpunkte lässt sich nun die Parameterform berechnen:

X = S_x + s · S_xS_y + t · S_xS_z
X = (-4 | 0 | 0) + s · (0-(-4) | 4-0 | 0-0) + t · (0-(-4) | 0-0 | -1-0)
(x | y | z) = (-4 | 0 | 0) + s · (4 | 4 | 0) + t · (4 | 0 | -1)