Zuerst berechnen wir die Parameterform aus den Koordinaten der Punkte:
Gegebene Punkte:
A = (0 | 2 | -1)
B = (6 | -5 | 0)
C = (1 | 0 | 1)
Parameterform:
X = A + s · AB + t · AC
X = (0 | 2 | -1) + s · (6 - 0 | -5 - 2 | 0 - (-1)) + t · (1 - 0 | 0 - 2 | 1 - (-1))
X = (0 | 2 | -1) + s · (6 | -7 | 1) + t · (1 | -2 | 2)
(x | y | z) = (0 | 2 | -1) + s · (6 | -7 | 1) + t · (1 | -2 | 2)
Als nächstes können wir aus den Vektoren AB und AC den Normalenvektor N (steht senkrecht auf Ebene) berechnen und kommen so auf die Normalenform:
Normalenvektor via Kreuzprodukt bestimmen:
N = AB ⨯ AC
N = (6 | -7 | 1) ⨯ (1 | -2 | 2)
N = yAB·zAC - zAB·yAC | zAB·xAC - xAB·zAC | xAB·yAC - yAB·xAC
N = (-7)·2 - 1·(-2) | 1·1 - 6·2 | 6·(-2) - (-7)·1
N = (-12 | -11 | -5)
Normalenform:
(X - A) · N = 0
(X - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir nun noch die Koordinatenform aufstellen:
Koordinatenform:
X · N = A · N
X · (-12 | -11 | -5) = (0 | 2 | -1) · (-12 | -11 | -5) | rechts das Skalarprodukt berechnen
(x | y | z) · (-12 | -11 | -5) = 0·(-12) + 2·(-11) + (-1)·(-5)
(-12)·x + (-11)·y + (-5)·z = -17