Die abc-Formel, auch bekannt als „Mitternachtsformel“, ist eine Formel, mit der sich quadratische Gleichungen lösen lassen.
Allgemeine Form der quadratischen Gleichung:
\( \textcolor{#00F}{a}·x^2 + \textcolor{#F00}{b}·x + \textcolor{#090}{c} = 0 \)
Die abc-Formel zur Lösung:
\( x_{1,2} = \frac{ -\textcolor{#F00}{b} \pm \sqrt{ \textcolor{#F00}{b}^2 - 4 · \textcolor{#00F}{a} · \textcolor{#090}{c} } }{ 2 · \textcolor{#00F}{a} } \)
Um die abc-Formel anwenden zu können, müssen wir die quadratische Gleichung in die allgemeine Form überführen, das heißt dort muss … = 0 stehen. Liegt diese dann vor, können wir die abc-Formel direkt anwenden.
Zur Lösungen nehmen wir die Koeffizienten a, b, c, die wir bei der quadratischen Gleichung ablesen, und setzen sie in die abc-Formel ein. Das berechnete Ergebnis ist die Lösung der quadratischen Gleichung (also die x-Werte).
Ein Beispiel soll dies veranschaulichen:
3·x² + 3·x = 18
Der erste Schritt, den es zu tun gilt, ist die 18 auf die linke Seite zu führen. Dafür wird auf beiden Seiten 18 subtrahiert.
3·x² + 3·x = 18 | -18
3·x² + 3·x - 18 = 0
Nun wird die obige Formel herangezogen und eingesetzt. Es ist a = 3, b = 3 und c = -18.
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \quad | ~ a=3, ~ b=3, ~ c=-18 \\ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4·3·(-18)}}{2·3} \\ x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{9+216}}{6} \\ x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{225}}{6} \\ x_{1,2} =\frac{-3\pm15}{6} \)
Nun das doppelte Vorzeichen berücksichtigen. Wir haben also zwei Lösungen, wobei bei jeder Lösung mit einem anderen Vorzeichen gerechnet wird.
\( x_1 = \frac{-3+15}{6} = \frac{12}{6} = 2 \\ x_2 = \frac{-3-15}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \)
Schon haben wir die beiden Ergebnisse x1 = 2 und x2 = -3.
Die abc-Formel ist übrigens eine Alternative zur p-q-Formel.