Zum Lösen von quadratischen Gleichungen, die auf die Normalform x² + px + q = 0 gebracht worden sind, können wir die pq-Formel benutzen. Sie sei im Folgenden hergeleitet:
1. Schritt: Wir notieren die Normalform einer quadratischen Gleichung:
\( x^2 + p·x + q = 0 \)
2. Schritt: Wir bringen das q auf die rechte Seite der Gleichung:
\( x^2 + p·x + q = 0 \quad | -q \\ x^2 + p·x = -q \)
3. Schritt: Wir addieren \( + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \) auf beide Seiten der Gleichung:
\( x^2 + p·x = -q \quad | \textcolor{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \\ x^2 + p·x \textcolor{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } = -q \textcolor{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)
4. Schritt: Der Linksterm entspricht nun der Form der ersten binomischen Formel. Wir wandeln den Term in Klammerschreibweise um:
\( \underbrace{ x^2 + p·x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 }_{ \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 } = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \)
Damit also:
\( \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \)
5. Schritt: Wir ziehen die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung:
\( \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \qquad | \sqrt{ \phantom{x} } \\ \sqrt{ \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 } = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)
Dabei müssen wir beachten, dass das Ergebnis positiv oder negativ sein kann (Ambiguität der Wurzel). Folglich erhalten wir zwei Ergebnisse x1 und x2:
\( | x + \frac{p}{2} | = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \\ x_{1,2} + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)
6. Schritt: Wir bringen das \( \frac{p}{2} \) mittels Subtraktion auf die rechte Seite der Gleichung:
\( x_{1,2} + \frac{p}{2} = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \quad | - \frac{p}{2} \\ x_{1,2} = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } - \frac{p}{2} \)
7. Schritt: Zur besseren Lesbarkeit schreiben wir das \( - \frac{p}{2} \) noch nach vorne und das -q innerhalb der Wurzel ans Ende:
\( x_{1,2} = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } - \frac{p}{2} \\ x_{1,2} = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q } \)
Fertig. Hiermit haben wir die pq-Formel hergeleitet.
Die p-q-Formel: lautet: \( x_{1,2} = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q } \)
Der Name „p-q-Formel“ entspringt der Bezeichnung der Koeffizienten.